Question

問題提出
我們?cè)诜治鼋鉀Q某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常要比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號(hào)確定他們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差M－N，若M－N＞0，則M＞N；若M－N＝0，則M＝N；若M－N＜0，則M＜N．
問題解決
如圖1，把邊長(zhǎng)為a＋b(a≠b)的大正方形分割成兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是a、b的小正方形及兩個(gè)矩形，試比較兩個(gè)小正方形面積之和M與兩個(gè)矩形面積之和N的大小．

解：由圖可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．
∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．
∵a≠b，∴(a－b)²＞0．
∴M－N＞0．
∴M＞N．
類比應(yīng)用
【小題1】已知：多項(xiàng)式M ＝2a²－a＋1 ，N ＝a²－2a．試比較M與N的大�。�
【小題2】已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊
滿足a ＜b ＜ c ，現(xiàn)將△ABC 補(bǔ)成長(zhǎng)方形，使得△ABC的兩個(gè)頂
點(diǎn)為長(zhǎng)方形的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在長(zhǎng)方形的這一邊的對(duì)邊上。                     
①這樣的長(zhǎng)方形可以畫       個(gè)；
②所畫的長(zhǎng)方形中哪個(gè)周長(zhǎng)最小？為什么？

拓展延伸                                                                                               
已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊滿足a ＜b ＜ c ，畫其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH , 使E、F兩點(diǎn)在邊BC上，G、H分別在邊AC、AB上，同樣還可畫AC、AB邊上的內(nèi)接正方形，問哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大？為什么？

Answer 1

【小題1】M>N
【小題2】①3個(gè) ②以最短邊a為邊畫的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)最小
拓展延伸：邊上的內(nèi)接正方形面積最大

解析（1）M-N==
∴M>N                               3分
(2) ① 3                          4分
②以最短邊a為邊畫的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)最小.                        5分
理由：設(shè)ΔABC的面積為S，三個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)分別為、、．
易得三個(gè)長(zhǎng)方形的面積相等，均為2S．
=，=，=
－=
∵（）
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴<
同理<
∴<<                        8分
拓展延伸：
邊上的內(nèi)接正方形面積最大                        9分
理由: 設(shè)邊上的內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為x，
由ΔAHG∽ΔABC,得
解得x=
由上題得，最小，且(定值)，
∴x為最大
∴邊上的內(nèi)接正方形面積最大                        12分