(2010•南充)已知拋物線上有不同的兩點E(k+3,-k2+1)和F(-k-1,-k2+1).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B,M為AB的中點,∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn),且∠PMQ=45°,MP交y軸于點C,MQ交x軸于點D.設AD的長為m(m>0),BC的長為n,求n和m之間的函數(shù)關系式;
(3)當m,n為何值時,∠PMQ的邊過點F?

【答案】分析:(1)求拋物線的解析式關鍵是求出b的值,根據(jù)E、F的坐標可發(fā)現(xiàn),E、F關于拋物線的對稱軸對稱,由此可求出拋物線的對稱軸方程,進而可求出b的值及拋物線的解析式;
(2)根據(jù)拋物線的解析式可求出A、B的坐標,可得到∠OAB=∠OBA=∠PMQ=45°,可證△BCM∽△AMD,根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出m、n的函數(shù)關系式;
(3)將點F的坐標代入拋物線的解析式中,即可求出F點的坐標,進而可由待定系數(shù)法求出直線MF的解析式,然后根據(jù)直線MF與坐標軸的交點坐標求出m、n的值.(需注意的是此題要分MP、MQ過F的兩種不同情況分類討論)
解答:解:(1)拋物線的對稱軸為;(1分)
∵拋物線上不同兩個點E(k+3,-k2+1)和F(-k-1,-k2+1)的縱坐標相同,
∴點E和點F關于拋物線對稱軸對稱,則,且k≠-2;
∴拋物線的解析式為;(2分)


(2)拋物線與x軸的交點為A(4,0),與y軸的交點為B(0,4),
∴AB=,AM=BM=;(3分)
在∠PMQ繞點M在AB同側(cè)旋轉(zhuǎn)過程中,∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°,
在△BCM中,∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°,即∠BMC+∠BCM=135°,
在直線AB上,∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°,即∠BMC+∠AMD=135°;
∴∠BCM=∠AMD,
∴△BCM∽△AMD;(4分)
,即;
故n和m之間的函數(shù)關系式為(m>0);(5分)

(3)∵F(-k-1,-k2+1)在上,
∴將F代入函數(shù)解析式得:,
化簡得,k2-4k+3=0,∴k1=1,k2=3;
即F1(-2,0)或F2(-4,-8);(6分)
①MF過M(2,2)和F1(-2,0),設MF為y=kx+b,
,解得;
∴直線MF的解析式為;
直線MF與x軸交點為(-2,0),與y軸交點為(0,1);
若MP過點F(-2,0),則n1=4-1=3,m1=
若MQ過點F(-2,0),則m2=4-(-2)=6,n2=;(7分)
②MF過M(2,2)和F2(-4,-8),設MF為y=kx+b,
,解得;
∴直線MF的解析式為;
直線MF與x軸交點為(,0),與y軸交點為(0,);
若MP過點F(-4,-8),則n3=4-()=,m3=;
若MQ過點F(-4,-8),則m4=4-=,n4=;(8分)
故當,,時,∠PMQ的邊過點F.
點評:此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法等知識,需注意的是(3)題中,MP、MQ都有可能經(jīng)過F點,要分類討論,以免漏解.
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