Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運動．如果點P的速度是4cm/秒，點Q的速度是2cm/秒，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達(dá)所在線段的端點時，就停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．
求：（1）用含t的代數(shù)式表示Rt△CPQ的面積S；
（2）當(dāng)t=3秒時，P、Q兩點之間的距離是多少？
（3）當(dāng)t為多少秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）由點P，點Q的運動速度和運動時間，又知AC，BC的長，可將CP、CQ用含t的表達(dá)式求出，代入直角三角形面積公式S_△CPQ=CP×CQ求解；
（2）在Rt△CPQ中，由（1）可知CP、CQ的長，運用勾股定理可將PQ的長求出；
（3）應(yīng)分兩種情況，當(dāng)Rt△CPQ∽Rt△CAB時，根據(jù)=，可將時間t求出；當(dāng)Rt△CPQ∽Rt△CBA時，根據(jù)=，可求出時間t．
解答：解：（1）由題意得AP=4t，CQ=2t，則CP=20-4t，
因此Rt△CPQ的面積為S=cm²；

（2）當(dāng)t=3秒時，CP=20-4t=8cm，CQ=2t=6cm，
由勾股定理得PQ=；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)Rt△CPQ∽Rt△CAB時，，即，解得t=3秒；
②當(dāng)Rt△CPQ∽Rt△CBA時，，即，解得t=秒．
因此t=3秒或t=秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似．
點評：本題主要考查相似三角形性質(zhì)的運用，在解第三問時應(yīng)分兩種情況進行求解，在解題過程應(yīng)防止漏解或錯解．