Question

如圖，已知銳角△ABC的面積為1，正方形DEFG是△ABC的一個內(nèi)接三角形，DG∥BC，求正方形DEFG面積的最大值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：過點A作AN⊥BC交DG于點M，交BC于點N，設(shè)AN=h，DE=x=MN=DG，根據(jù)DG∥BC，再由△ADG∽△ABC即可求出x的表達式，再代入求出三角形的面積即可．

解答：解：∵過點A作AN⊥BC交DG于點M，交BC于點N，設(shè)AN=h，DE=x=MN=DG，
∴

1

2

BC•h=1，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，故

DG

BC

=

AM

AN

，即

x

2 h

=

h-x

h

，
∴x=

2h

h2+2

，
設(shè)正方形的面積為S，則S=x²=（

2h

h2+2

）²=（

2

h+ 2 h

）²=[

2

( h - 2 h )2+2 2

]²≤（

2

2 2

）=

1

2

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．