Question

【題目】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明提出這樣一個(gè)問(wèn)題：∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，如圖．大家一起熱烈地討論交流，小英第一個(gè)得出如下結(jié)論：（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE；（5）AB∥CD．其中正確的結(jié)論是_____．（將你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】（1）（3）（4）（5）．

【解析】

可以通過(guò)作輔助線來(lái)得解，取AD的中點(diǎn)F，連接EF．根據(jù)平行線的性質(zhì)可證得（1）（4）（5），根據(jù)梯形中位線定理可證得（3）正確．根據(jù)全等三角形全等的判定可證得（2）的正誤，即可得解．

如圖：取AD的中點(diǎn)F，連接EF．

∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD；[結(jié)論（5）正確]，
∵E是BC的中點(diǎn)，F是AD的中點(diǎn)，
∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位線定理）①；
∴∠CDE=∠DEF（兩直線平等，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，
∴DF=EF；
∵F是AD的中點(diǎn)，∴DF=AF，
∴AF=DF=EF②，
由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[結(jié)論（3）正確]，
由②得∠FAE=∠FEA，
由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，
∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[結(jié)論（1）正確]，
由結(jié)論（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，則∠DEA=90°，即AE⊥DE；[結(jié)論（4）正確]．
由以上結(jié)論及三角形全等的判定方法，無(wú)法證明△EBA≌△DCE，結(jié)論（2）錯(cuò)誤．
正確的結(jié)論有（1）（3）（4）（5），
故答案為：（1）（3）（4）（5）．