Question

如圖，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC邊上的一個動點（不與A、C點重合），過點D作AC邊的垂線，交線段BC于點E，點F是線段EC的中點，作DH⊥DF，交射線AB于點H，交射線CB于點G．
（1）求證：GD=DC．
（2）設(shè)AD=x，HG=y．求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域．

Answer 1

（1）證明：∵ED⊥AC，∠C=30°，F(xiàn)是EC的中點，
∴DF=FC，∠C=∠FDC=30°，
∴∠GFD=60°，又GD⊥DF，
∴∠CGD=∠C=30°，
∴GD=DC．

（2）解：∵∠ABC=90°，∠C=30°，AC=4，
∴∠A=60°，AB=2，
又∠HDA=∠C+∠CGD=60°，
∴AH=HD=AD，
∵AD=x，AC=4，HG=y，
∴GD=CD=4-x，
①若DH交線段AB的延長線于點H（如圖1）
有HG+GD=AD，
∴y+4-x=x，
∴y=2x-4（2≤x＜4），
②若DH交線段AB于點H（如圖2）
有GD-GH=AD，
∴4-x-y=x，
∴y=4-2x（1≤x＜2），
答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y=2x-4（2≤x＜4）或 y=4-2x（1≤x＜2）．
分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出∠CGD=∠C，根據(jù)等腰三角形的判定即可求出答案；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理得到∠A=60°，AB=2，推出AH=HD=AD，求出GD=CD=4-x，①若DH交線段AB的延長線于點H，求出y+4-x=x，②若DH交線段AB于點H，求出4-x-y=x，整理后即可得到答案．
點評：本題主要考查對三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)實際問題列一次函數(shù)解析式，三角形的外角性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．