Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在AC、BC邊上分別截取CD=CE，連結(jié)DE．將△DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，連結(jié)BE、AD．

（1）當(dāng)0°＜θ＜90°時(shí)，如圖②，直線BE交直線AD于點(diǎn)F．

①求證：△ACD≌△BCE．

②求證：AF⊥BE．

（2）當(dāng)0°＜θ＜360°，AC=5，CD=3，四邊形CDFE是正方形時(shí)，直接寫出AF的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1.

【解析】

試題分析: （1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和已知，運(yùn)用SAS證明即可；②由問題原型中的結(jié)論：△ACE≌△BCE得出∠BFO=∠ACB，結(jié)合等量代換進(jìn)行求解即可；

（2）運(yùn)用CD∥BE結(jié)合初步探究中的結(jié)論，可證CD⊥AF，結(jié)合勾股定理即可求解．

試題解析：（1）①如圖②，

∵△DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，

∴∠ACD=∠BCE=θ，

又∵AC=BC，CD=CE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE；

②如圖②，設(shè)AF與BC交點(diǎn)于O，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠DAC=∠EBC，

∵∠AOC=∠BOF，

∴∠BFO=∠ACB=90°，

∴AF⊥BE；

（2）如圖③，

∵AC=5，CD=3，四邊形CDFE是正方形時(shí)，

∵AD⊥CD，

∴AD=，

∴AF=4+3=7，

如圖4，

∴AF=4﹣3=1．