Question

【題目】如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點(diǎn)D，與直角邊AC相交于E、F兩點(diǎn)，連結(jié)DE，已知∠B=30°，⊙O的半徑為6，弧DE的長(zhǎng)度為2π．

（1）求證：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求線段BC的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接OD、OE，

設(shè)∠EOD=n°，

∵弧DE的長(zhǎng)度為2π，

∴2π= ，

∴n=60°，

∴△EOD是等邊三角形，

∴∠ODE=60°，

∵AB是⊙O的切線，

∴∠ODA=90°

∴∠EAD=30°，

∴∠B=∠EAD，

∴ED∥BC，

（2）

解：連接FD，

由（1）可知ED∥BC，

∴∠AED=∠C=90°，

∴由圓周角定理可知：FD是⊙O的直徑，

∴∠AFD=30°，

∴cos∠AFD= ，DF=12

∴AF=8 ，

∵cos∠AFD= ，

∴EF=6 ，

∴CE=AF=8 ，

∴AE=CF=2 ，

∴AC=10 ，

∵tanB= ，

∴BC=30，

【解析】（1）連接OD、OE，根據(jù)弧DE的長(zhǎng)度為2π，從而可求出∠EOD的度數(shù)，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求出∠EDA的度數(shù)，從可得出∠B=∠EAD；（2）連接FD，由圓周角定理可知FD是⊙O的直徑，從而可知∠AFD=30°，從而可求出AF、AE的長(zhǎng)度，再由tanB= 即可求出BC的長(zhǎng)度．