Question

如圖1，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足為E、F．
（1）求證：△ABE≌△ADF；
（2）若∠BAE=∠EAF，求證：AE=BE；
（3）若對角線BD與AE、AF交于點M、N，且BM=MN（如圖2）．求證：∠EAF=2∠BAE．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據菱形的性質，由AAS證明△ABE≌△ADF；
（2）欲證AE=BE，可以通過證明∠B=45°=∠BAE，根據等腰直角三角形的性質得出；
（3）由于∠BAN=90°，通過證明△AMN是等邊三角形，得出∠MAN=60°，則有∠MAB=30°，從而證明∠EAF=2∠BAE．
解答：解：（1）∵菱形ABCD，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF，（2分）
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD，（1分）
∴△ABE≌△ADF．（1分）

（2）∵菱形ABCD，
∴AB∥CD，
又∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
∴∠BAF=90°，又∠BAE=∠EAF，
∴∠BAE=45°，∠AEB=90°，（2分）
∴∠B=45°=∠BAE，（1分）
∴AE=BE．（1分）

（3）∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，AB=AD，
∴∠ABM=∠ADN，
∴△ABM≌△ADN．
∴AM=AN，（1分）
又∵∠BAN=90°，BM=MN，
∴AM=MN=AN，
∴∠MAN=60°，（1分）
∴∠MAB=30°，（1分）
∴∠EAF=2∠BAE．（1分）
點評：本題是推理證明題，主要考查菱形的邊的性質，同時綜合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形和等邊三角形的性質．