Question

如圖1，AC⊥CG，AC=，B是CG上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABC沿直線AB翻折到△ABD．過D作直線DE⊥CG，垂足為E．
（1）若BC=2，則∠ABD=______．
（2）在（1）的條件下，求證：DE是以AB為直徑的圓O的切線；
（3）點(diǎn)B由（1）的位置向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，如圖2直線DE與以AB為直徑的圓O交于D、F兩點(diǎn)，當(dāng)∠DAF=∠CAB時(shí)，求∠CAB的大小和BC的長．

Answer 1

解：（1）連結(jié)AD，
∵△ADB是將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到的，
∴△ADB≌△ACB，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵O為AB的中點(diǎn)，
∴OD=OB=AB，
∴點(diǎn)D在⊙O上，
在Rt△ACB中，AC=2，BC=2，
∴cot∠CAB==，
∴∠CAB=∠BAD=30°，
∴∠ABC=∠ABD=60°，

（2）∵∠ABC=∠ABD=60°，
∴∠DBE=60°，
∵∠DEB=90°，
∴∠BDE=30°，
∵OB=OD，∠ABD=60°，
∴△BDO是等邊三角形，
∴∠BDO=60°，∠EDO=∠BDE+∠BDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是以AB為直徑的圓O的切線；

（3）∵∠DAF=∠CAB，
∴∠DAF=∠CAB=∠DAB，
∴==，
又∵CG⊥DF，AC⊥CG，
∴DF∥AC，
∴==2，=4，
又∵AB是直徑，
∴=4=180°，=45°，
∴∠CAB=22.5°，BC=AC×tan22.5°=2×（-1）=2-2．
分析：（1）先證明∠ADB=∠ACB=90°，再根據(jù)O為AB的中點(diǎn)，OD=OB=AB，得出點(diǎn)D在⊙O上，再根據(jù)cot∠CAB==，得出∠CAB=∠BAD=30°，從而求出∠ABC=∠ABD=60°；
（2）先求出∠DBE=60°，再根據(jù)∠DEB=90°，得出∠BDE=30°，再證明△BDO是等邊三角形，得出∠BDO=60°，∠EDO=∠BDE+∠BDO=90°，OD⊥DE，即可證出DE是以AB為直徑的圓O的切線；
（3）根據(jù)∠DAF=∠CAB，得出∠DAF=∠CAB=∠DAB，則==，再根據(jù)CG⊥DF，AC⊥CG，得出DF∥AC，==2，=4，最后根據(jù)=4=180°，=45°，求出∠CAB=22.5°，BC=AC×tan22.5°．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，用到的知識(shí)點(diǎn)是軸對(duì)稱、切線的判定、解直角三角形、等邊三角形等，關(guān)鍵是綜合應(yīng)用有關(guān)性質(zhì)，列出算式，求出答案．