Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB為直角，AB=10，°，半徑為1的動(dòng)圓Q的圓心從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著BA方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤5）以P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑的⊙P與AB、BC的另一個(gè)交點(diǎn)分別為E、D，連結(jié)ED、EQ．

（1）判斷并證明ED與BC的位置關(guān)系，并求當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)t的值；

（2）當(dāng)⊙P和AC相交時(shí)，設(shè)CQ為，⊙P被AC 截得的弦長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)； 并求當(dāng)⊙Q過(guò)點(diǎn)B時(shí)⊙P被AC截得的弦長(zhǎng)；

（3）若⊙P與⊙Q相交，寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）ED⊥BC，；（2），；（3）

【解析】試題分析：（1）連接PD，由PB=PD，PD=PE，可得∠PBD=∠PDB，∠PDE=∠PED，再由三角形的內(nèi)角和定理可得∠BDE=∠BDP+∠PDE=90°，即可得DE⊥BC；因DE∥CA，可得△BDE∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)CQ=CD=t，BD=5-t，BE=2t，代入求得t值即可；設(shè)⊙P和AC相交于 M、N，BP=CQ=x，AP=AB-BP=10-x,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn) H,在Rt△APH中，可得PH= AP，PH=(10-x)，在Rt△PHN中，即可求得y關(guān)于x的函數(shù)；如圖，當(dāng)⊙Q經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)， CQ=CB﹣QB=4，將t的值代入即可求得MN的長(zhǎng)；（3）當(dāng)Q⊙P與⊙Q外切時(shí)，如圖，此時(shí)易知∠QBP=60°，BQ=5-t，PQ=t+1，BP=t，，因從此時(shí)起直至停止運(yùn)動(dòng)，⊙P與⊙Q都處于相交位置，即可得⊙P與⊙Q相交時(shí)t的取值范圍.

試題解析：

（1）連接PD，∵B、E、D都在⊙P上

∴PB=PD，∠PBD=∠PDB， PD=PE，∠PDE=∠PED

∵△BDE的內(nèi)角和為180° ∴∠BDE=∠BDP+∠PDE=90°，

∴即：DE⊥BC

∵∠BCA=90°，°

∴DE∥CA，∴△BDE∽△BCA，

∴

設(shè)CQ=CD=t，BD=5-t，BE=2t

代入有 解得：

∴當(dāng)時(shí)Q與D重合.

（2）設(shè)⊙P和AC相交于 M、N，

BP=CQ=x，AP=AB-BP=10-x過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn) H

在Rt△APH中，易知：

PH=

在Rt△PHN中，易知：HN==

當(dāng)⊙Q經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，（如圖） CQ=CB﹣QB=4，

將代入得：

（3）當(dāng)Q⊙P與⊙Q外切時(shí)，如圖，

易知此時(shí)∠QBP=60°，BQ=5-t，PQ=t+1，BP=t

，

∵從此時(shí)起直至停止運(yùn)動(dòng)，⊙P與⊙Q都處于相交位置

∴⊙P與⊙Q相交時(shí)t的取值范圍為：