Question

定義：如果一個(gè)y與x的函數(shù)圖象經(jīng)過平移后能與某反比例函數(shù)的圖象重合，那么稱這個(gè)函數(shù)是y與x的“反比例平移函數(shù)”．例如：的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到的圖象，則是y與x的“反比例平移函數(shù)”．
（1）若矩形的兩邊分別是2cm、3cm，當(dāng)這兩邊分別增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面積為8cm²，求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并判斷這個(gè)函數(shù)是否為“反比例平移函數(shù)”．
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（9，0）、（0，3）．點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，連接OB、CD交于點(diǎn)E，“反比例平移函數(shù)”的圖象經(jīng)過B、E兩點(diǎn)．則這個(gè)“反比例平移函數(shù)”的表達(dá)式為           ；這個(gè)“反比例平移函數(shù)”的圖象經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q與某一個(gè)反比例函數(shù)的圖象重合，請寫出這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（3）在（2）的條件下，已知過線段BE中點(diǎn)的一條直線l交這個(gè)“反比例平移函數(shù)”圖象于P、Q兩點(diǎn)（P在Q的右側(cè)），若B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為16，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1），是；（2），；（3）（7，5）或（15，）．

解析試題分析：（1）根據(jù)新矩形的面積為8cm²，則長乘以寬等于面積，即可得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程，即可變形成函數(shù)的形式，進(jìn)行判斷.
（2）把B和D的坐標(biāo)代入即可列方程求得a、k的值，則函數(shù)解析式即可求解.
（3）由反比例函數(shù)的中心對稱性，四邊形PEQB為平行四邊形，設(shè)P₁（x₀，y₀），根據(jù)S_△OP1E=S_{四邊形ONMC}-S_△OCP1-S_△MP1E-S_△ONE．即可列方程求解．
試題解析：（1）∵（x+2）（y+3）=8，
∴向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到.
∴是“反比例平移函數(shù)”．
（2）把B和D的坐標(biāo)代入得：，解得：.
則“反比例平移函數(shù)”的表達(dá)式為.
故變換后的反比例函數(shù)表達(dá)式為.
（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，設(shè)線段BE的中點(diǎn)為F，由反比例函數(shù)中心對稱性，四邊形PEQB為平行四邊形．
∵四邊形PEQB的面積為16，∴S_△PFE=4，
∵B（9，3），F(xiàn)（6，2）．是的“反比例平移函數(shù)”，
∴S_△PFE=S_△POE=4，點(diǎn)E的坐標(biāo)是：（3，1）.
過E作x軸的垂線，與BC、x軸分別交于M、N點(diǎn)．
S_△OP1E=S_{四邊形ONMC}-S_△OCP1-S_△MP1E-S_△ONE．
設(shè)P₁（x₀，y₀），
∴，即，解得.
∴P₁（1，3），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，5）．
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，同理可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（15，）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，5）或（15，）．

考點(diǎn)：1.反比例函數(shù)綜合題；2.新定義；3.平移的性質(zhì)；4.轉(zhuǎn)換思想和分類思想的應(yīng)用．