【題目】如圖,直線OA與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A3,3),向下平移直線OA,與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B6,m)與y軸交于點(diǎn)C,

1)求直線BC的解析式;

2)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式;

3)設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E

問:在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使以OEP為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1;(2;(3)存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4),(4),(4,12),(4,﹣12).

【解析】

1)根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo),即可確定直線OA以及反比例函數(shù)的解析式,根據(jù)所得反比例函數(shù)解析式即可確定點(diǎn)B的坐標(biāo),而OA、BC平行,那么它們的斜率相同,由此可確定直線BC的解析式;

(2)根據(jù)直線BC的解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo),然后可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式;

3)根據(jù)(2)所得拋物線的解析式,可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo),即可得到BDBC、CD的長(zhǎng),利用勾股定理逆定理即可判定△BCD是直角三角形,且∠BDC90°,根據(jù)拋物線對(duì)稱軸方程可得到E點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可求得OE的長(zhǎng),若以OE、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似,已知∠BDC=∠PEO90°,那么有兩種情況需要考慮:PEO∽△BDC,OEP∽△BDC.根據(jù)上面兩組不同的相似三角形所得不同的比例線段,即可得到PE的長(zhǎng),進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo).(需要注意的是P點(diǎn)可能在E點(diǎn)上方也可能在E點(diǎn)下方)

解:(1)由直線OA與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A3,3),

得直線OA為:yx,雙曲線為:,

點(diǎn)B6,m)代入,點(diǎn)B6,),

設(shè)直線BC的解析式為yx+b,由直線BC經(jīng)過點(diǎn)B

x6,,代入yx+b得:,

所以,直線BC的解析式為;

2)由直線得點(diǎn)C0,),

設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為

A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得:

解得

所以,拋物線的解析式為

3)存在.

配方得,

所以得點(diǎn)D4,),對(duì)稱軸為直線x4

得對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為E4,0).

BD,BCCD,得CD2BC2+BD2,所以,∠DBC90°

又∠PEO90°,若以O、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似,則有:

,即,得,有P14,),P24

,即,得PE12,有P3412),P44,﹣12

所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4),(4),(412),(4,﹣12).

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區(qū)域

價(jià)格(百元米2

6

5

設(shè)矩形的較短邊的長(zhǎng)為米,正方形區(qū)域建設(shè)總費(fèi)用為百元.

1的長(zhǎng)為 米(用含的代數(shù)式表示);

2)求關(guān)于的函數(shù)解析式;

3)當(dāng)中心區(qū)的邊長(zhǎng)要求不低于8米且不超過12米時(shí),預(yù)備建設(shè)資金220000元夠用嗎?請(qǐng)利用函數(shù)的增減性來說明理由.

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1)求當(dāng)為多少時(shí)每天的利潤(rùn)是1350元?

2)設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為,求銷售單價(jià)為多少元時(shí),每天利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

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1)求證:△AED≌△CFD;

2)求證:四邊形AECF是菱形.

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(2)求證:NDNE;

(3)DE2,EC3,求BC的長(zhǎng).

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以下是小剛的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整.

1)具體運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:

特例1;特例2;特例3;

特例4______(舉一個(gè)符合上述運(yùn)算特征的例子);

2)觀察、歸納,得出猜想:

如果為正整數(shù),用含的式子表示這個(gè)運(yùn)算規(guī)律:______;

3)請(qǐng)你證明猜想的正確性.

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