Question

25、一般來說，依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做“分類”的思想；將事物進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方法叫做“分類討論”的方法．請(qǐng)依據(jù)分類的思想和分類討論的方法解決下列問題：
如圖，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC．
（1）若∠BAC是銳角，請(qǐng)?zhí)剿髟谥本�AB上有多少個(gè)點(diǎn)D，能保證△ACD∽△ABC（不包括全等）？
（2）請(qǐng)對(duì)∠BAC進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸悾�直接寫出每一類在直線AB上能保證△ACD∽△ABC（不包括全等）的點(diǎn)D的個(gè)數(shù)？

Answer 1

分析：（1）此題應(yīng)分作三種情況考慮：
①點(diǎn)D在線段AB上，若△ACD∽△ABC，已知的等量條件是公共角∠BAC，那么必須滿足∠ACD=∠ABC，由于∠ACB＞∠ABC，因此在線段AB上，有一個(gè)符合條件的D點(diǎn)；
②點(diǎn)D在線段AB的延長線上，此時(shí)已知的等量條件仍為公共角∠BAC，由于∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，因此這兩個(gè)三角形不可能相似，故在這種情況下，不存在符合條件的D點(diǎn)；
③點(diǎn)D在線段AB的反向延長線上，由于∠BAC是銳角，那么∠BAC＜90°＜∠DAC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)知：∠CAD＞∠BCA＞∠ABC，因此這兩個(gè)三角形也不可能相似，故此種情況下也不存在符合條件的D點(diǎn)．
（2）可將∠BAC分作三種情況：
①∠BAC是銳角，②∠BAC是直角，③∠BAC是鈍角；每種情況都可按照（1）題的分類討論法進(jìn)行求解．

解答：解：（1）①如圖，若點(diǎn)D在線段AB上，由于∠ACB＞∠ABC，可以作一個(gè)點(diǎn)D滿足∠ACD=∠ABC，
使得△ACD∽△ABC；（1分）
②如圖1，若點(diǎn)D在線段AB的延長線上，則∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，與條件矛盾，因此，這樣的點(diǎn)D不存在；（1分）
③如圖2，若點(diǎn)D在線段AB的反向延長線上，由于∠BAC是銳角，則∠BAC＜90°＜∠CAD，不可能有△ACD∽△ABC，因此，這樣的點(diǎn)D不存在． （1分）
綜上所述，這樣的點(diǎn)D有一個(gè)．
注：③中用“∠CAD是鈍角，△ABC中只可能∠ACB是鈍角，則∠CAD＞∠ACB”說明不存在點(diǎn)D亦可．

（2）若∠BAC為銳角，由（1）知，這樣的點(diǎn)D有一個(gè)；
若∠BAC為直角，這樣的點(diǎn)D有兩個(gè)；
若∠BAC為鈍角，這樣的點(diǎn)D有1個(gè)．
注：（2）的第一個(gè)解答不寫不扣分，第二個(gè)解答回答“這樣的點(diǎn)D有一個(gè)”給（1分）．

點(diǎn)評(píng)：主要考查的是相似三角形的判定以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，此題的難點(diǎn)在于怎樣分類，能夠?qū)⑺�有的情況都考慮到是解決此題的關(guān)鍵．