Question

如圖1是由兩塊全等的含30°角的直角三角板擺放而成，斜邊AC=10．
（1）若將△ADE沿直線AE翻折到如圖2的位置，ED'與BC交于點F，求證：CF=EF；
（2）求EF的長；
（3）將圖2中的△AD'E沿直線AE向右平移到圖3的位置，使D'點落在BC上，求出平移的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，AC=AE，再根據(jù)翻折的對稱性，AD=AD′，所以CD′=AB，然后證明△CD′F與△EBF全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證明；
（2）先根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，BF=

1

2

EF，然后在Rt△BEF中利用勾股定理列式求解即可；
（3）根據(jù)平移對應(yīng)點的連線互相平行，D′D″∥AB，又點D′是AC的中點，所以D′D″是△ABC的中位線，然后再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半以及三角形中位線定理即可求出平移的距離．

解答：（1）證明：∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，
根據(jù)翻折對稱性，AD′=AD，
∴AD′=AB，
∴AC-AD′=AE-AB，
即CD′=BE，
在△CD′F與△EBF中，

∠CD′F=∠EBF ∠CFD′=∠RFB CD′=BE

，
∴△CD′F≌△EBF（AAS），
∴CF=EF（全等三角形對應(yīng)邊相等）；

（2）解：∵∠C=30°，AC=10，
∴AB=

1

2

AC=

1

2

×10=5，
∴EB=10-AB=5，
在△EFB中，∠FEB=30°，
∴BF=

1

2

EF，
根據(jù)勾股定理得EF²=BF²+EB²，
∴EF²=（

1

2

EF）²+5²，
解得EF=

10 3

3

；

（3）解：根據(jù)平移，D′D″∥AB，
又∵AD′=AB=5，CD′=10-AD′=5，
∴D′D″是△ABC的中位線，
∵∠C=30°，AC=10，
∴D′D″=

1

2

AB=

1

2

×

1

2

AC=

1

2

×

1

2

×10=

5

2

，
故平移距離

5

2

．

點評：本題主要考查了折疊問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，也考查了勾股定理，三角形的中位線定理，它們的綜合性比較強(qiáng)，對于學(xué)生的綜合能力要求比較高，平時加強(qiáng)訓(xùn)練．