Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，-n），且經(jīng)過原點(diǎn)O，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)C．已知實(shí)數(shù)m，n（m＜n）分別是方程x²-2x-3=0的兩根．

（1）求m，n的值．

（2）求拋物線的解析式．

（3）若點(diǎn)P為線段OB上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在y軸右側(cè)），連接OD，BD．當(dāng)△OPC為等腰三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）m=-1，n=3；（2）y=-x²+x；（3）P₁（，-），P₂（，-），P₃（，-）．

【解析】

試題分析：（1）解方程即可得出m，n的值．

（2）將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；

（3）首先求出AB的直線解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出當(dāng)OC=OP時，當(dāng)OP=PC時，點(diǎn)P在線段OC的中垂線上，當(dāng)OC=PC時分別求出x的值即可．

試題解析：（1）解方程x²-2x-3=0，

得 x₁=3，x₂=-1．

∵m＜n，

∴m=-1，n=3．

（2）∵m=-1，n=3，

∴A（-1，-1），B（3，-3）．

∵拋物線過原點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0）．

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為y=-x²+x．

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．

∴，解得：，

∴直線AB的解析式為y=-x-．

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-）．

∵直線OB過點(diǎn)O（0，0），B（3，-3），

∴直線OB的解析式為y=-x．

∵△OPC為等腰三角形，

∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．

設(shè)P（x，-x），

（i）當(dāng)OC=OP時，x²+（-x）²=．

解得x₁=，x₂=-（舍去）．

∴P₁（，-）．

（ii）當(dāng)OP=PC時，點(diǎn)P在線段OC的中垂線上，

∴P₂（，-）．

（iii）當(dāng)OC=PC時，由x²+（-x+）²=，

解得x₁=，x₂=0（舍去）．

∴P₃（，-）．

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁（，-），P₂（，-），P₃（，-）．

考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.