Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AO⊥BC于F，D為的中點(diǎn)，E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠DAE=126°，則∠CAD等于（ ）

A．36°
B．42°
C．38°
D．27°

Answer 1

【答案】分析：由于D是弧AC的中點(diǎn)，可知∠ABC=2∠ACD；由于半徑AO⊥BC，由垂徑定理易證得AB=AC，即∠ACB=∠ABC=2∠ACD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知：∠BCD=∠DAE=126°，由此可求出∠ACD的度數(shù)；而∠DAC和∠DCA是等弧所對(duì)的圓周角，則∠DAC=∠DCA，由此得解．
解答：解：∵AO⊥BC，且AO是⊙O的半徑，
∴AO垂直平分BC，
∴AB=AC，即∠ABC=∠ACB，
∵D是的中點(diǎn)，
∴∠ABC=2∠DCA=2∠DAC，
∴∠ACB=2∠DCA，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠BCD=∠DAE=126°，
∴∠ACB+∠DCA=126°，
即3∠DCA=126°，
∴∠DAC=∠DCA=42°．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧的關(guān)系，垂徑定理，等腰三角形的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，能夠發(fā)現(xiàn)∠ACB與∠DCA之間的倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．