Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，M是邊AC的中點(diǎn)，CH⊥BM于H．
（1）試求sin∠MCH的值；
（2）求證：∠ABM=∠CAH；
（3）若D是邊AB上的點(diǎn)，且使△AHD為等腰三角形，請直接寫出AD的長為________．

Answer 1

解：（1）在△MBC中，∠MCB=90°，BC=2，
又∵M(jìn)是邊AC的中點(diǎn)，
∴AM=MC=BC=1，（1分）
∴MB=，（1分）
又CH⊥BM于H，則∠MHC=90°，
∴∠MCH=∠MBC，（1分）
∴sin∠MCH=．（1分）

（2）在△MHC中，．（1分）
∴AM²=MC²=MH•MB，
即，（2分）
又∵∠AMH=∠BMA，
∴△AMH∽△BMA，（1分）
∴∠ABM=∠CAH．（1分）

（3）∵△AMH∽△BMA，
∴=，
在Rt△BMC中，BM==，
在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴AH=×AB=×2=，
∵∠ABM=∠CAH，∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠HAD=∠MCH，
①AD為底邊時(shí)，如圖1，AD=2AHcos∠HAD，
∵sin∠MCH=，
∴cos∠HAD==，
∴AD=2××=；
②HD為底邊時(shí)，如圖2，AD=AH=；
③AH為底邊時(shí)，AD=AH÷cos∠HAD=×÷=×=．
故AD的長為：，或．
分析：（1）根據(jù)已知條件“M是邊AC的中點(diǎn)”知AM=MC=1；在直角三角形MBC中利用勾股定理求得MB=，由∠HCB+∠HBC=∠CMH+∠MCH=90°求得∠MCH=∠MBC；所以sin∠MCH=；
（2）在Rt△MHC中，利用邊角關(guān)系求得MH的值，再在Rt△CBM中利用射影定理求得；然后根據(jù)SAS判定△AMH∽△BMA；最后由相似三角形的對應(yīng)角相等證明∠ABM=∠CAH；
（3）分三種情況討論：①AD為底邊時(shí)，AD的長度；②HD為底邊時(shí)，AD的長度；③AH為底邊時(shí)，AD的長度．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定及勾股定理的應(yīng)用．解答（3）題時(shí)，注意要分三種情況來求AD的長度，即：①AD為底邊時(shí)；②AH為底邊時(shí)；③HD為底邊時(shí)．以防漏解．