Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的兩實數(shù)根為x1，x2

（1）求m的取值范圍；

（2）設y=x1+x2，當y取得最小值時，求相應m的值，并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）將原方程整理為 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0．

∵ 原方程有兩個實數(shù)根，

∴ △=" [" 2（m－1）2－4m2=－8m + 4≥0，得 m≤．

（2） ∵ x1，x2為x2 + 2（m－1）x + m2 = 0的兩根，

∴ y = x1+ x2=－2m + 2，且m≤．

因而y隨m的增大而減小，故當m =時，取得極小值1．

【解析】試題分析：(1)、若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關于m的不等式，可求出m的取值范圍；(2)、根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出x1+x2的表達式，進而可得出y、m的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質及(1)題得出的自變量的取值范圍，即可求出y的最小值及對應的m值．

試題解析：(1)、將原方程整理為x2+2（m﹣1）x+m2=0； ∵原方程有兩個實數(shù)根，

∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；

(2)、∵x1，x2為一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的兩根，

∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤； 因而y隨m的增大而減小，故當m=時，取得最小值1．