Question

完成下列各題：
（1）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，若⊙O的半徑r=

3

2

，AC=2，請(qǐng)你求出cosB的值；
（2）小明在操場(chǎng)上做游戲，他發(fā)現(xiàn)地上有一個(gè)不規(guī)則的封閉圖形ABC．為了知道它的面積，小明在封閉圖形內(nèi)劃出了一個(gè)半徑為1米的圓，在不遠(yuǎn)處向圈內(nèi)擲石子，且記錄如下：

擲石子次數(shù)石子落在的區(qū)域	50次	150次	300次
石子落在⊙O內(nèi)（含⊙O上）的次數(shù)m	14	43	93
石子落在陰影內(nèi)的次數(shù)n	19	85	186

請(qǐng)你求出封閉圖形ABC的面積？

Answer 1

分析：（1）由圓周角定理可知∠B=∠D，所以只需在Rt△ACD中，求出∠D的余弦值即可．
（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，計(jì)算出石子落在圓內(nèi)的概率，即圓面積與總面積的比值，從而可計(jì)算出圖形ABC的面積．

解答：解：（1）∵AD是⊙O的直徑，r=

3

2

，
∴∠ACD=90°，AD=3，
∵AC=2，
∴CD=

32-22

=

5

，
∴cosD=

5

3

，
∵∠B和∠D是同弧所對(duì)的圓周角，
∴∠B=∠D，
∴cosB=cosD=

5

3

；

（2）由已知得：當(dāng)分別投擲50次、150次、300次時(shí)，石子落在⊙O內(nèi)（含⊙O上）的次數(shù)m與石子落在陰影內(nèi)的次數(shù)n的比值分別為：
（以下的解答中沒(méi)有大約兩字的要扣去2分）
∵

14

19

≈0.737，

43

85

≈0.506，

93

186

=0.5，
∴圓的面積大約是陰影部分面積的一半，
∵圓的面積大約是π×1²=π（m²），
∴陰影部分的面積大約是2π（m²），
∴封閉圖形ABC的面積大約是π+2π=3π（m²）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是游戲公平性的判斷，以及圓周角定理、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．