Question

關(guān)于x的方程mx²-x+m²+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y=x²-（3m+4）x+m-1的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有________．

Answer 1

3個(gè)
分析：（1）當(dāng)m=0時(shí)，求出b²-4ac＞0，得到此函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求出y軸的交點(diǎn)；
（2）當(dāng)m≠0時(shí)，根據(jù)根的判別式求出b²-4ac=0，推出m＞0，函數(shù)y=x²-（3m+4）x+m-1，①先由△的符號(hào)判定與x軸的交點(diǎn)數(shù)△=9m²+20m+20＞0，得到此函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，②再求函數(shù)與y軸的交點(diǎn)即可．
解答：（1）當(dāng)m=0時(shí)，
函數(shù)為：y=x²-4x-1，
b²-4ac=（-4）²-4×1×（-1）=20＞0，
∴此函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
與Y軸的交點(diǎn)是（0，-1），
∴與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有3個(gè)；
（2）當(dāng)m≠0時(shí)，
∵關(guān)于x的方程mx²-x+m²+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴b²-4ac=（-1）²-4m（m²+1）=1-4m（m²+1）=0，
即4m（m²+1）=1＞0，
由于m²+1＞0，
∴m＞0，
對(duì)于函數(shù)y=x²-（3m+4）x+m-1，
①先由△的符號(hào)判定與x軸的交點(diǎn)數(shù)，
△=（3m+4）²-4（m-1）=9m²+20m+20＞0，
∴此函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
②再求該函數(shù)與y軸的交點(diǎn)，
令x=0得y=m-1，
∴與y軸的交點(diǎn)為（0，m-1），
將m=1代入等式4m（m²+1）=1驗(yàn)證顯然不成立，
故m-1≠0，
即（0，m-1）不在x軸上，
綜上所述，該函數(shù)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)，與y軸一個(gè)交點(diǎn)，即與坐標(biāo)軸總共是3個(gè)交點(diǎn)．
故答案為：3個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根的判別式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．