Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A是x軸正半軸上的一個動點，點C是y軸正半軸上的點，BC⊥AC于點C．已知AC=8，BC=3．
（1）線段AC的中點到原點的距離是

4

；
（2）點B到原點的最大距離是

9

．

Answer 1

分析：（1）由在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求得線段AC的中點到原點的距離；
（2）首先取AC的中點E，連接BE，OE，OB，可求得OE與BE的長，然后由三角形三邊關(guān)系，求得點B到原點的最大距離．

解答：解：（1）∵∠AOC=90°，AC=8，
∴線段AC的中點到原點的距離是：

1

2

AC=4；

（2）取AC的中點E，連接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，AC=8，
∴OE=CE=

1

2

AC=4，
∵BC⊥AC，BC=3，
∴BE=

BC2+CE2

=5，
若點O，E，B不在一條直線上，則OB＜OE+BE=9．
若點O，E，B在一條直線上，則OB=OE+BE=9，
∴當O，E，B三點在一條直線上時，OB取得最大值，最大值為9．
故答案為：（1）4，（2）9．

點評：此題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．