Question

如圖1，在△ABC，∠A=45°，延長CB至D，使得BD=BC．
（1）若∠ACB=90°，求證：BD=AC；
（2）如圖2，分別過點(diǎn)D和點(diǎn)C作AB所在直線的垂線，垂足分別為E、F，求證：DE=CF；
（3）如圖3，若將（1）中“∠ACB=90°”改為“∠ACB=m°，并在AB延長線上取點(diǎn)G，使得∠1=∠A”．試探究線段AC、DG的數(shù)量與位置關(guān)系．

Answer 1

（1）證明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵BD=BC，
∴BD=AC；

（2）證明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴∠E=∠CFB=90°，
∵∠DBE=∠CBF，BD=BC，
∴△DBE≌△CBF（AAS），
∴DE=CF；

（3）解：DG=AC，DG⊥AC．
證明：過點(diǎn)C作CE∥DG交AB于點(diǎn)E，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠4，
∵∠1=∠A，
∴∠4=∠A，
∴AC=CE，
∵BD=BC，∠EBC=∠GBD，∠2=∠3，
∴△DBG≌△CBE（AAS），
∴CE=DG，
∴DG=AC．
∵∠A=45°，
∴∠4+∠A=90°，
∴∠ACE=90°，
∴AC⊥CE，
∴AC⊥DG．
∴DG=AC，DG⊥AC．
分析：（1）由∠A=45°，∠ACB=90°，即可求得∠A=∠ABC，由等角對等邊，即可求得AC=BC，則可得AC=BD；
（2）由DE⊥AB，CF⊥AB，易得∠E=∠CFB=90°，又由對頂角相等，BC=BD，根據(jù)AAS，即可證得△DBE≌△CBF，則可證得DE=CF；
（3）作輔助線：過點(diǎn)C作CE∥DG交AB于點(diǎn)E，則易證△DBG≌△CBE，又由等角對等邊易證DG=AC，又由∠A=45°，易證得∠ACE=90°，則可得AC⊥DG．
點(diǎn)評：此題考查了等角對等邊的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)．此題圖形變化很多，但難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．