Question

（2012•梁子湖區(qū)模擬）如圖，等腰梯形ABCD的底邊AD在x軸上，頂點C在y軸正半軸上，B（4，2），一次函數y=kx-1的圖象平分它的面積，關于x的函數y=mx²-（3m+k）x+2m+k的圖象與坐標軸只有兩個交點，則m的值為（　�。�

• A．0
• B．-

  1

  2

• C．-1
• D．0或-

  1

  2

  或-1

Answer 1

分析：由一次函數y=kx-1的圖象平分等腰梯形ABCD的面積，得到此一次函數過等腰梯形的對稱中心，找出此對稱中心的坐標，代入一次函數解析式中求出k的值，將k的值代入關于x的函數解析式中，分兩種情況考慮：當m=0時，此函數為一次函數，經檢驗此一次函數與坐標軸只有兩個交點；當m不為0時，此函數關于x的二次函數，再分兩種情況：拋物線過原點；拋物線頂點在x軸上，保證拋物線與坐標軸只有兩個交點，當拋物線過原點時，將原點坐標代入二次函數解析式中求出此時m的值；當拋物線頂點在x軸上時，拋物線與x軸只有一個交點，可得出根的判別式等于0，列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，綜上，得到所有滿足題意的m的值．

解答：解：過B作BM⊥x軸于M點，連接OB，CM，交于N點，如圖所示：

由B（4，2），得到N（2，1），
將x=2，y=1代入y=kx-1得：1=2k-1，
解得：k=1，
將k=1代入y=mx²-（3m+k）x+2m+k得：y=mx²-（3m+1）x+2m+1，
分兩種情況考慮：
當m=0時，函數解析式為y=-x+1，經檢驗與坐標軸只有兩個交點，符合題意；
當m≠0時，此函數為二次函數，
（i）當拋物線過原點，即2m+1=0，即m=-

1

2

時，拋物線與坐標軸只有兩個交點，符合題意；
（ii）當拋物線與x軸只有一個交點，即b²-4ac=（3m+1）²-4m（2m+1）=（m+1）²=0，即m=-1時，
拋物線與坐標軸只有兩個交點，符合題意，
綜上，滿足題意的m的值為0或-

1

2

或-1．
故選D

點評：此題考查了二次函數與x軸的交點，一次函數的性質，二次函數的性質，中心對稱圖形的性質，以及等腰梯形的性質，利用了數形結合及分類討論的數學思想，熟練掌握函數的性質是解本題的關鍵．