Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且其對(duì)稱軸l為x＝－1，點(diǎn)P是拋物線上B，C之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合）．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）小唐探究點(diǎn)P的位置時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸l上時(shí)，存在PB⊥NB，且PB＝NB的關(guān)系，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）是否存在點(diǎn)P使得四邊形PBAC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出四邊形PBAC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】 （1）拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3；

（2點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1－，－2）；

（3）存在，四邊形PBAC的面積最大，最大值為．

【解析】（1）由拋物線y=ax2+bx-3（a≠0）點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），由待定系數(shù)法就可以直接求出a、b的值而求出拋物線的解析式．
（2）由（1）的解析式就可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，求出OC的值，在Rt△CON中由勾股定理就可以求出CN的值，CP1=NP1時(shí)，
作P1H⊥CN于H，由三角形相似就可以求出P1N的值，從而求出P1的坐標(biāo)；
（3）設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，連接BE、CE，作EG⊥OB于點(diǎn)G，就可以表示EG、BG、OG的值就可以表示出四邊形BOCE的面積，然后化為頂點(diǎn)式就可以求出其面積的最大值．

解：（1）拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3．

（2）

如圖，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，

設(shè)拋物線對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)Q．

∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°，

∴∠PBM＋∠NBQ＝90°．

∵∠PMB＝90°，

∴∠PBM＋∠BPM＝90°．

∴∠BPM＝∠NBQ．

又∵∠BMP＝∠BNQ＝90°，PB＝NB，

△BPM≌△NBQ．∴PM＝BQ．

∵拋物線y＝x2＋2x－3與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，且對(duì)稱軸為x＝－1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－3，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（－1，0）．∴BQ＝2．∴PM＝BQ＝2．

∵點(diǎn)P是拋物線y＝x2＋2x－3上B、C之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴結(jié)合圖象可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為－2．

將y＝－2代入y＝x2＋2x－3，得－2＝x2＋2x－3．

解得x1＝－1－，x2＝－1＋（舍去）．

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1－，－2）．

（3）存在．

如圖，連接AC．可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）（－3﹤x﹤0），

則y＝x2＋2x－3．∵點(diǎn)A（1，0），∴OA＝1．

∵點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，∴令x＝0，得y＝－3．即點(diǎn)C（0，－3）．

∴OC＝3．由（2）可知

S四邊形PBAC＝S△BPM＋S四邊形PMOC＋S△AOC

＝BM·PM＋（PM＋OC）·OM＋OA·OC

＝（x＋3）（－y）＋（－y＋3）（－x）＋×1×3

＝－y－x＋．將y＝x2＋2x－3代入可得

S四邊形PBAC＝－（x2＋2x－3）－x＋

＝－（x＋）2＋．∵－﹤0，－3﹤x﹤0，

∴當(dāng)x＝－時(shí)，S四邊形PBAC有最大值．

此時(shí)，y＝x2＋2x－3＝－．

∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－，－）時(shí)，

四邊形PBAC的面積最大，最大值為．

“點(diǎn)睛”本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；能靈活運(yùn)用相似三角形性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用勾股定理的逆定理證明三角形為直角三角形；學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題.