Question

九（1）班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問(wèn)題，他們經(jīng)歷了實(shí)踐--應(yīng)用--探究的過(guò)程：
（1）實(shí)踐：他們對(duì)一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道（如圖①）進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得一隧道的路面寬為10m，隧道頂部最高處距地面6.25m，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖②所示的直角坐標(biāo)系，請(qǐng)你求出拋物線的解析式．
（2）應(yīng)用：按規(guī)定機(jī)動(dòng)車輛通過(guò)隧道時(shí)，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m．為了確保安全，問(wèn)該隧道能否讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛（兩車并列行駛時(shí)不考慮兩車間的空隙）？
（3）探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探索拋物線的有關(guān)知識(shí)，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)予解答：
I．如圖③，在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使頂點(diǎn)C、D落在拋物線上，頂點(diǎn)A、B落在x軸 上．設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為l求l的最大值．
II•如圖④，過(guò)原點(diǎn)作一條y=x的直線OM，交拋物線于點(diǎn)M，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)N，P 為直線0M上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q．問(wèn)在直線OM上是否存在點(diǎn)P，使以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)已知得出當(dāng)x=2時(shí)，正好是汽車寬度，求出即可；
（3）I．首先表示出矩形周長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)最值公式求出；
II•利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出QN=AB=AO，以及P在y=x的圖象上，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)坐標(biāo)系可知此函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，6.25），且圖象過(guò)（10，0）點(diǎn)，
代入頂點(diǎn)式得：
y=a（x-5）²+6.25，
∴0=a（10-5）²+6.25，
解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）²+6.25；

（2）當(dāng)最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛時(shí)，
∴10-3×2=4，
4÷2=2，
∴x=2代入解析式得：
y=-0.25（2-5）²+6.25；
y=4，
4-3.5=0.5，
∴隧道能讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛；

（3）I．假設(shè)AO=x，可得AB=10-2x，
∴AD=-0.25（x-5）²+6.25；
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為l為：l=2[-0.25（x-5）²+6.25]+2（10-2x）=-0.5x²+x+20，
∴l(xiāng)的最大值為：

4ac-b 2

4a

=

4×(- 1 2 )×20-1

-2

=20.5．
II•當(dāng)以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y=x的圖象上，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q．
∴∠POA=∠OPA=45°，
∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，
∴5=

-m2+10m

4

，
解得：m=5±

5

，
當(dāng)∠P₃NQ₃=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q₃作Q₃K₁⊥對(duì)稱軸，
當(dāng)△NQ₃K₁為等腰直角三角形時(shí)，△NP₃Q₃為等腰直角三角形，
Q點(diǎn)在OM的上方時(shí)，P₃Q₃=2Q₃K₁，P₃Q₃=-

1

4

x2 +

5

2

x-x，
Q₃K₁=5-x，
Q點(diǎn)在OM的下方時(shí)，P₄Q₄=2Q₄K₂，P₄Q₄=x-（-

1

4

x2 +

5

2

x），
Q₄K₂=x-5，
∴

1

4

x²-

7

2

x+10=0，
解得：x₁=4，x₂=10，
P₃（4，4），P₄（10，10）
∴使以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：
（5-

5

，5-

5

）或（5+

5

，5+

5

）或（4，4）或（10，10）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法和等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象獲取正確點(diǎn)的坐標(biāo)以及利用y=x圖象上點(diǎn)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．