Question

如圖，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點(diǎn)G，現(xiàn)將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長(zhǎng)BE和DF相交于點(diǎn)C．
探究一：猜想：四邊形ABCD是何種特殊的四邊形？請(qǐng)證明自己的猜想．
探究二：連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線(xiàn)段 MN²、ND²、DH²之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
探究三：若EG=4，GF=6，BM=3

2

，你能求出AG、MN的長(zhǎng)嗎？

Answer 1

分析：探究一：由圖形翻折變換的性質(zhì)可知∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD即可得出結(jié)論；
探究二：連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°，故∠NDH=90°，再證△AMN≌△AHN，得MN=NH，由勾股定理即可得出結(jié)論；
探究三：設(shè)AG=x，則EC=x-4，CF=x-6，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可得出AG的值，同理可得出BD的長(zhǎng)，設(shè)NH=y，在Rt△NHD，利用勾股定理即可得出MN的值．

解答：探究一：證明：如圖，∵AG⊥EF，
∴∠AGE=90°．
∵△AEB由△AED翻折而成，
∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，
同理，得∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，
∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，
∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴四邊形ABCD是正方形；

探究二：MN²=ND²+DH²，
理由：連接NH，
∵△ADH由△ABM旋轉(zhuǎn)而成，
∴△ABM≌△ADH，
∴AM=AH，BM=DH，
∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ADH=∠ABD=45°，
∴∠NDH=90°，
∵在△AMN與△AHN中

AM=AH ∠EAF=∠NAH AN=AN

，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN=NH，
∴MN²=ND²+DH²；

探究三：由（1）知，四邊形ABCD是正方形，則AB=BC=CD．
由折疊的性質(zhì)知BE=EG，DF=GF．
設(shè)AG=BC=x，則EC=x-4，CF=x-6，
∵在Rt△ECF中，CE²+CF²=EF²，即（x-4）²+（x-6）²=100，x₁=12，x₂=-2（舍去）
∴AG=12，
∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，
∴BD=

AB2+AD2

=12

2

，
∵BM=3

2

，
∴MD=BD-BM=12

2

-3

2

=9

2

，
設(shè)NH=y，
在Rt△NHD中，
∵NH²=ND²+DH²，即y²=（9

2

-y）²+（3

2

）²，解得y=5

2

，即MN=5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是翻折變換及勾股定理，解答此類(lèi)題目時(shí)常常設(shè)要求的線(xiàn)段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線(xiàn)段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨�角形，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．