Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF=2，EF=3，
（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)（且不與A，B點(diǎn)重合），以P，O，B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）在矩形OCEF中，已知OF、EF的長(zhǎng)，先表示出C、E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的解析式．
（2）需要分類討論：△AOC∽△BOP和△AOC∽△POB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵四邊形OCEF為矩形，OF=2，EF=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3）．
∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、E，則

c=3   3=-4+2b+c

，
解得

b=2 c=3

，
∴該拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（2）由（1）知，拋物線解析式為y=-x²+2x+3．
易求A（-1，0），（3，0），
則OA=1，OB=3．
①當(dāng)△AOC∽△POB時(shí)，

OA

OP

=

OC

OB

，即

1

OP

=

3

3

，
解得，OP=1，
故P₁（0，1），P₂（0，-1）；
②當(dāng)△AOC∽△BOP時(shí)，

OA

OB

=

OC

OP

，即

1

3

=

3

OP

，
解得，OP=9，
故P₃（0，9），P₄（0，-9）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P₁（0，1），P₂（0，-1），P₃（0，9），P₄（0，-9）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．