Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式．
（2）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC為等腰梯形，直接寫出此時P點的坐標：P（______，______）．
（3）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c可得到關(guān)于b、c的方程組，解方程組求得b=-2，c=-3，則二次函數(shù)的表達式為y=x²-2x-3；
（2）由于拋物線為軸對稱圖形，要得到四邊形ABPC為等腰梯形，只有PC∥AB，則點P與點C是拋物線的上的對稱點，可求得拋物線的對稱軸為直線x=1，于是可得到點C（0，-3）關(guān)于直線x=1對稱的點P的坐標為（2，-3）．
（3）作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點P，則PO=PC，根據(jù)翻折的性質(zhì)得OP′=OP，CP′=CP，易得四邊形POP′C為菱形，又E點坐標為（0，-），則點P的縱坐標為-，再把y=-代入y=x²-2x-3可求出對應x的值，然后確定滿足條件的P點坐標．
解答：解：（1）把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c得，解得，
∴這個二次函數(shù)的表達式為y=x²-2x-3；
（2）∵點P是直線BC下方的拋物線上一動點，四邊形ABPC為等腰梯形，
∴PC∥AB，
∴點P與點C是拋物線的上的對稱點，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-=1，
∴點C（0，-3）關(guān)于直線x=1對稱的點P的坐標為（2，-3）．
故答案為2，-3；
（3）存在．理由如下：
作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點P，垂足為點E，如圖，
則PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，
∴OP′=OP，CP′=CP，
∴OP′=OP=CP′=CP，
∴四邊形POP′C為菱形，
∵C點坐標為（0，-3），
∴E點坐標為（0，-），
∴點P的縱坐標為-，
把y=-代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=-，
解得x=，
∵點P在直線BC下方的拋物線上，
∴x=，
∴滿足條件的點P的坐標為（，-）．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象為拋物線，其頂點式為y=a（x-）²+，拋物線的對稱軸為x=-，當a＞0，y_最小值=；當a＜0，y_{最，大值}=；拋物線上的點的橫縱坐標滿足拋物線的解析式；對于特殊四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理要熟練運用．