Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC為等腰梯形，直接寫(xiě)出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)：P（______，______）．
（3）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c可得到關(guān)于b、c的方程組，解方程組求得b=-2，c=-3，則二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-2x-3；
（2）由于拋物線(xiàn)為軸對(duì)稱(chēng)圖形，要得到四邊形ABPC為等腰梯形，只有PC∥AB，則點(diǎn)P與點(diǎn)C是拋物線(xiàn)的上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，可求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，于是可得到點(diǎn)C（0，-3）關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）．
（3）作OC的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)BC下方的拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，則PO=PC，根據(jù)翻折的性質(zhì)得OP′=OP，CP′=CP，易得四邊形POP′C為菱形，又E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-），則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-，再把y=-代入y=x²-2x-3可求出對(duì)應(yīng)x的值，然后確定滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c得，解得，
∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-2x-3；
（2）∵點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，四邊形ABPC為等腰梯形，
∴PC∥AB，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C是拋物線(xiàn)的上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-=1，
∴點(diǎn)C（0，-3）關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）．
故答案為2，-3；
（3）存在．理由如下：
作OC的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)BC下方的拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，垂足為點(diǎn)E，如圖，
則PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，
∴OP′=OP，CP′=CP，
∴OP′=OP=CP′=CP，
∴四邊形POP′C為菱形，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-），
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-，
把y=-代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=-，
解得x=，
∵點(diǎn)P在直線(xiàn)BC下方的拋物線(xiàn)上，
∴x=，
∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象為拋物線(xiàn)，其頂點(diǎn)式為y=a（x-）²+，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-，當(dāng)a＞0，y_最小值=；當(dāng)a＜0，y_{最，大值}=；拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的解析式；對(duì)于特殊四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理要熟練運(yùn)用．