Question

（11分）如圖，已知拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C．

（1）求拋物線的函數解析式．

（2）設點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，若四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標．

（3）聯接BC交x軸于點F．y軸上是否存在點P，使得△POC與△BOF相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=+2x；（2）D（1,3）；（3）（0，－）或（0，－4）

【解析】

試題分析：（1）將點A、點B和原點代入解析式進行求解；（2）根據平行四邊形的性質得出點D的坐標；（3）首先求出OB、OF、OC的長度，然后根據三角形相似的條件求出點P的坐標，分兩種情況進行討論.

試題解析：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

將點A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，解得：，

所以函數解析式為：y=x2+2x；

（2）∵AO為平行四邊形的一邊， ∴DE∥AO，DE=AO， ∵A（﹣2，0），

∴DE=AO=2， ∵四邊形AODE是平行四邊形， ∴D在對稱軸直線x=﹣1右側，

∴D橫坐標為：﹣1+2=1，代入拋物線解析式得y=3， ∴D的坐標為（1，3）；

（3）在y軸上存在點P，使得△POC與△BOF相似，理由如下：

由y=x2+2x，頂點C的坐標為（﹣1，1） ∵tan∠BOF=，

∴∠BOF=45°， 當點P在y軸的負半軸時，tan∠COP=，

∴∠COP=45°，∴∠BOF=∠COP， 設BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵圖象經過B（﹣3，3），C（﹣1，1）

∴， 解得∴，

∴y=﹣2x﹣3； 令y=0，則x=﹣1.5．

∴F（﹣1.5，0），

∴OB=3，OF=1.5，OC=，

①當△POC∽△FOB時， 則，

即， ∴OP=， ∴P（0，﹣）

②當△POC∽△BOF時， ∴，

∴OP=4， ∴P（0，﹣4），

∴當△POC與△BOF相似時，點P的坐標為（0，﹣）或（0，﹣4）．

考點：待定系數法求函數解析式、三角形相似的判定、平行四邊形的性質.