Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在x軸上，∠OCD=∠D=90°，AO=OC=10cm，CD=6cm．
（1）請(qǐng)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q以每秒1cm的速度分別從點(diǎn)O和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿OA、AD、DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿CO運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)t秒．
①是否存在某個(gè)時(shí)間t（秒），使得△OPQ為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②若記△POQ的面積為y（cm²），求y（cm²）關(guān)于t（秒）的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）如圖1，作AE⊥OC于E．
∴AE∥CD，
∵∠OCD=∠D=90°，
∴AD∥OC，
∵CD=6cm，
∴AE=DC=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OE=8cm，
∴A（8，6）；

（2）作AN⊥OA，設(shè)與OC的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)，延長(zhǎng)DA，與y軸交于點(diǎn)M．
①如圖2，
∵AD∥OC，
∴AM⊥OM，
∴DM∥OC，
∵A（8，6），
∴AM=8cm，OM=CD=6cm，
∴∠AON=∠MAO，
∵∠AMO=∠OAN=90°，
∴△OMA∽△NAO，
∴，
∵OM=6cm，AM=8cm，OA=10cm，
∴AN=cm，ON=cm，
如圖，若∠OPQ=90°，則△OPQ為直角三角形，
∴PQ∥AN，
∴，
∵P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，OC=OA=10cm，
∴，
∴t=，
如圖，若∠OQP=90°，則△OPQ為直角三角形，
∵∠AON=∠QOP，
∴∠AON∽△QOP，
∴，
∴，
∴t=cm，
∴當(dāng)t=cm或者t=cm時(shí)，△OPQ為直角三角形；

②如圖3，作QH⊥OA于H．
∵AN⊥OA，
∴QH∥AN，
∴，
∵OQ=10-t，AN=，ON=，
∴QH=cm，
∵OP=t，
∴S_△OPQ=，
∴S=（0＜t＜10）．
分析：（1）做AE⊥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出OM的長(zhǎng)度，然后運(yùn)用勾股定理即可推出MA的長(zhǎng)度，即可推出A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①作AN⊥OA，設(shè)與OC的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)，延長(zhǎng)DA到y(tǒng)軸，設(shè)與y軸交于點(diǎn)M，通過(guò)求證△OMA∽△NAO，推出AN=cm，ON=cm，再分情況進(jìn)行討論．若∠OPQ=90°，則△OPQ為直角三角形，由PQ∥AN，推出，即可求出t=；若∠OQP=90°，則△OPQ為直角三角形，通過(guò)求證∠AON∽△QOP，推出，即可求出t=cm，所以當(dāng)t=cm或者t=cm時(shí)，△OPQ為直角三角形；
②作QH⊥OA，把OP視作底邊，由QH∥AN，推出，再由OQ=10-t，AN=，ON=，推出高QH的長(zhǎng)度，然后根據(jù)OP=t，即可推出S=（0＜t＜10）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，點(diǎn)的坐標(biāo)，相似三角形的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出輔助線，構(gòu)建直角三角形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想推出相關(guān)的三角形相似，求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，正確的進(jìn)行分析．