Question

如圖，已知：⊙O是ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，連接DF，作EP⊥DF，垂足為點(diǎn)P，連接PB，PC．求證：∠DPB=∠FPC．

Answer 1

證明：分別過(guò)B、C作DF的垂線交DF延長(zhǎng)線于G、H兩點(diǎn)，
∵⊙O是ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，
∴BE=BD，CF=CE，AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴∠BDG=∠CFH，
又∵∠G=∠H=90°，
∴△BDG∽△CHF，
∴=，
∴=，
∵∠G=∠EPG=∠H=90°，
∴BG∥EP∥CH，
∴=，
∴=，
又∵∠G=∠H=90°，
∴△BGP∽△CHP，
∴∠DPB=∠FPC．
分析：分別過(guò)B、C作DF的垂線交DF延長(zhǎng)線于G、H兩點(diǎn)，證△BDG和△CHF相似，得到=，根據(jù)BE=BD，CF=CE，AD=AF，推出=，進(jìn)而證出△BGP和△CHP相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)已知和輔助線證出△BPG和△CPH相似是解此題的關(guān)鍵．題目比較典型，難度適當(dāng)．