Question

如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，BD平分∠ADC，∠ADC=60°，過點B作BE⊥DC，過點A作AF⊥BD，垂足分別為E、F，連接EF．
（1）試說明：∠DAF=∠BAF．
（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵BD平分∠ADC
∴∠ADB=∠CDB=∠ADC=30°．…（1分）
∵DC∥AB
∴∠BDC=∠ABD=30°．…（2分）
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD…（3分）
∵AF⊥BD．
∴F為BD中點．∠DAF=∠BAF…（5分）
（2）△BEF為等邊三角形．…（6分）
理由如下：
由（1）知F為BD中點
∵BE⊥DC，
∴EF為Rt△BDE斜邊BD上的中線…（7分）1
∴DF=BF=EF…（8分）
∵∠BDE=30°．
∴∠DBE=60°…（9分）
∴△BEF為等邊三角形…（10分）．
分析：（1）利用等角對等邊證得AB=AD，然后證得點F為BD的中點，然后利用等腰三角形三線合一證得結論即可；
（2）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得DF=BF=EF，然后利用∠DBE=60°根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形證得三角形BEF為等邊三角形即可．
點評：本題考查了梯形的性質及等腰三角形的判定及判定，包括了等邊三角形的判定及性質，題目難度適中．