【題目】在中,D是邊BC上一點(diǎn),以點(diǎn)A為圓心,AD長為半徑作弧,如果與邊BC有交點(diǎn)E(不與點(diǎn)D重合),那么稱為的A-外截弧.例如,圖中是的一條A-外截弧.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知存在A-外截弧,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合.
(1)在點(diǎn),,,中,滿足條件的點(diǎn)C是_______.
(2)若點(diǎn)C在直線上.
①求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.
②直接寫出的A-外截弧所在圓的半徑r的取值范圍.
【答案】(1)C2、C3;(2)-2<y<或y>2;(3)<r<5或<r<5.
【解析】
(1)如圖,根據(jù)BC1⊥AB可得△ABC1沒有A-外截弧,作AF⊥BC2于F,由AC2<AB可得當(dāng)AF<AD2<AC2時(shí),△ABC2有A-外截。蛔AG⊥BC3于G,根據(jù)點(diǎn)C3坐標(biāo),可求出AC3的長,可得AC3<AB,即可得出AG<AD1<AC3時(shí),△ABC3有A-外截;根據(jù)A、B、C4坐標(biāo)可求出BC4、AC4的長,根據(jù)勾股定理逆定理可得△ABC4是直角三角形,且AC4⊥BC4,可得△ABC4沒有A-外截弧,綜上即可得答案;
(2)①根據(jù)△ABC有A-外截弧可得∠ABC<90°,可得x>0,設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(m,m-2),利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可求出∠ACB=90°時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo),根據(jù)∠ACB<90°時(shí),△ABC有A-外截弧可得m的取值范圍,代入y=x-2,即可得點(diǎn)C縱坐標(biāo)的取值范圍;
②求出∠ACB=90°時(shí)AC的長,進(jìn)而可得答案.
(1)如圖,∵BC1⊥AB,
∴△ABC1沒有A-外截弧,
作AF⊥BC2于F,
∵A(5,0),B(0,0),C2(5,-3),
∴∠BAC2=90°,AC2=3,AB=5,
∴AC2<AB,
∴AF<AD2<AC2時(shí),△ABC2有A-外截弧,滿足條件,
作AG⊥BC3于G,
∵C3(6,4),
∴AC3=<AB,
∴AG<AD1<時(shí),△ABC3有A-外截弧,滿足條件,
∵C4(4,2),
∴BC4=,AC4=,AB=5,
∵()2+()2=52,
∴△ABC4是直角三角形,∠AC4B=90°,
∴△ABC4沒有A-外截弧,
綜上所述:滿足條件的點(diǎn)C是C2、C3.
故答案為:C2、C3
(2)①∵點(diǎn)C在直線y=x-2上,
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,m-2),
∵△ABC有A-外截弧,
∴∠ABC<90°,
∴m>0,
當(dāng)∠ACB=90°時(shí),
∵A(5,0),B(0,0),
∴斜邊AB的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2.5,0),
∴(m-2.5)2+(m-2)2=(2.5)2,
解得:m1=,m2=4,
∴∠ACB=90°時(shí),點(diǎn)C坐標(biāo)為(,)或(4,2),
∵直線解析式為y=x-2,
∴x=0時(shí),y=-2,
∴與y軸交點(diǎn)為(0,-2),
∵△ABC有A-外截弧時(shí),∠ACB<90°,
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍為-2<y<或y>2.
②由①得x=或x=4時(shí),∠ACB=90°,
∴C1(,),C2(4,2),
∴AC1=,AC2=,
∴的A-外截弧所在圓的半徑r的取值范圍為:<r<5或<r<5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過,兩點(diǎn),與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為.
求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
在x軸上是否存在點(diǎn)P,使?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是線段OB上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),D,E是半圓上的點(diǎn)且CD與BE交于點(diǎn)F,用①,②DC⊥AB,③FB=FD中的兩個(gè)作為題設(shè),余下的一個(gè)作為結(jié)論組成一個(gè)命題,則組成真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表
x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | -4 | 0 | 2 | 2 | 0 | -4 | … |
下列結(jié)論:①拋物線開口向下;②當(dāng)時(shí),y隨x的增大而減;③拋物線的對稱軸是直線;④函數(shù)的最大值為2.其中所有正確的結(jié)論為( )
A.①②③B.①③C.①③④D.①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,B是的半徑OA上的一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),過點(diǎn)B作OA的垂線交于點(diǎn)C,D,連接OD,E是上一點(diǎn),,過點(diǎn)C作的切線l,連接OE并延長交直線l于點(diǎn)F.
(1)①依題意補(bǔ)全圖形.
②求證:∠OFC=∠ODC.
(2)連接FB,若B是OA的中點(diǎn),的半徑是4,求FB的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,曲線AB是拋物線的一部分(其中A是拋物線與y軸的交點(diǎn),B是頂點(diǎn)),曲線BC是雙曲線的一部分.曲線AB與BC組成圖形W由點(diǎn)C開始不斷重復(fù)圖形W形成一組“波浪線”.若點(diǎn),在該“波浪線”上,則m的值為________,n的最大值為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地質(zhì)量監(jiān)管部門對轄區(qū)內(nèi)的甲、乙兩家企業(yè)生產(chǎn)的某同類產(chǎn)品進(jìn)行檢查,分別隨機(jī)抽取了50件產(chǎn)品并對某一項(xiàng)關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)做檢測,獲得了它們的質(zhì)量指標(biāo)值s,并對樣本數(shù)據(jù)(質(zhì)量指標(biāo)值s)進(jìn)行了整理、描述和分析.下面給出了部分信息.
a.該質(zhì)量指標(biāo)值對應(yīng)的產(chǎn)品等級如下:
質(zhì)量指標(biāo)值 | |||||
等級 | 次品 | 二等品 | 一等品 | 二等品 | 次品 |
說明:等級是一等品,二等品為質(zhì)量合格(其中等級是一等品為質(zhì)量優(yōu)秀).
等級是次品為質(zhì)量不合格.
b.甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表如下(不完整).
c.乙企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下.
甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
2 | 0.04 | |
m | ||
32 | n | |
0.12 | ||
0 | 0.00 | |
合計(jì) | 50 | 1.00 |
乙企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖
d.兩企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差如下:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 極差 | 方差 | |
甲企業(yè) | 31.92 | 32.5 | 34 | 15 | 11.87 |
乙企業(yè) | 31.92 | 31.5 | 31 | 20 | 15.34 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)m的值為________,n的值為________.
(2)若從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,估計(jì)該產(chǎn)品質(zhì)量合格的概率為________;若乙企業(yè)生產(chǎn)的某批產(chǎn)品共5萬件,估計(jì)質(zhì)量優(yōu)秀的有________萬件;
(3)根據(jù)圖表數(shù)據(jù),你認(rèn)為________企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量較好,理由為______________.(從某個(gè)角度說明推斷的合理性)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知AB為⊙O的直徑.
(1)如圖a,點(diǎn)D為 的中點(diǎn),當(dāng)弦BD=AC時(shí),求∠A.
(2)如圖b,點(diǎn)D為的中點(diǎn),當(dāng)AB=6,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)時(shí),求OE的長.
(3)如圖c,點(diǎn)D為上任意一點(diǎn)(不與A、C重合),若點(diǎn)C為的中點(diǎn),探求BD、AD、CD之間的數(shù)量關(guān)系,直接寫出你探求的結(jié)論,不要求證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,半徑OC=6,D是半徑OC上一點(diǎn),且 OD=4.A,B是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠ADB=90°,F是AB的中點(diǎn),則OF的長的最大值等于______.
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