Question

如圖，已知AB=12，點C、D在AB上，且AC＝DB＝2，點P從點C沿線段CD向點D運動(運動到點D停止)，以AP、BP為斜邊在AB的同側(cè)畫等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，連接EF，取EF的中點G，則下列說法中正確的有
①△EFP的外接圓的圓心為點G；②△EFP的外接圓與AB相切；
③四邊形AEFB的面積不變；④EF的中點G移動的路徑長為4

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

B
分別延長AE、BF交于點H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為PH中點，則G的運行軌跡為三角形HCD的中位線MN．再求出CD的長，運用中位線的性質(zhì)求出MN的長度即可確定④正確；又由G為EF的中點，∠EPF=90°，可知②正確．故可求得答案．

解：如圖，分別延長AE、BF交于點H．
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，
∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°，
∴四邊形EPFH為平行四邊形，
∴EF與HP互相平分．
∵G為EF的中點，
∴G也為PH中點，
即在P的運動過程中，G始終為PH的中點，
∴G的運行軌跡為△HCD的中位線MN．
∵CD=12-2-2=8，
∴MN=4，即G的移動路徑長為4．
故④EF的中點G移動的路徑長為4，正確；
∵G為EF的中點，∠EPF=90°，
∴①△EFP的外接圓的圓心為點G，正確．
∴①④正確．
連接PG，
∵PG≠PF，
∴△EFP的外接圓與AB相交，故②錯誤；
∵點P從點C沿線段CD向點D運動（運動到點D停止），
∴AP不斷減小，
∴四邊形的面積隨之變化，故③錯誤．
故選B．