Question

已知：如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x與函數(shù)y=的圖象在第一象限的交于A點(diǎn)，AM⊥x軸，垂足是M，把線段OA的垂直平分線記作l，線段AN與OM關(guān)于l對稱．
（1）畫出線段AN（保留畫圖痕跡）；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）求直線AN的函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）作線段OA的垂直平分線l交OA與B點(diǎn)，交x軸于P點(diǎn)，連AP，截取AN=OM，則線段AN與OM關(guān)于l對稱；
（2）解方程組即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)勾股定理計(jì)算出OA==，再根據(jù)中垂線的性質(zhì)得到OB=OA=，∠PBO=90°，易得Rt△POB∽Rt△AOM，則=，即=，求得OP=×=，確定點(diǎn)P（，0），設(shè)直線AN的函數(shù)解析式為y=kx+b，根據(jù)對稱性得到直線AN必過點(diǎn)N，然后利用待定系數(shù)法求直線AN的解析式．
解答：解：（1）如圖；

（2）解方程組，得或，
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴點(diǎn)A（1，2）；

（3）設(shè)l與x軸交于點(diǎn)P，與OA交于點(diǎn)B，
∵OM=1，AM=2，AM⊥x軸
∴OA==，
∵PB垂直平分OA，
∴OB=OA=，∠PBO=90°，
∴Rt△POB∽Rt△AOM，
∴=，即=，
∴OP=×=．
∴點(diǎn)P（，0），
設(shè)直線AN的函數(shù)解析式為y=kx+b，
∵OM與AN關(guān)于PB對稱，
∴直線AN必過點(diǎn)N，
把點(diǎn)A和P的坐標(biāo)分別代入y=kx+b，得 
，
解得k=，b=．
∴直線AN的函數(shù)解析式為y=-x+，
∴直線AN的解析式是y=x+．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)圖象的解析式；運(yùn)用中垂線和相似三角形的判定與性質(zhì)求線段的長；利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．