Question

已知⊙O的半徑為1，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．有一個(gè)正方形ABCD，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-

13

，0），頂點(diǎn)A在x軸上方，頂點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A、O在一條直線上時(shí)，CD與⊙O相切嗎？如果相切，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出OD所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；如果不相切，也請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x，正方形ABCD的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）易證CD是⊙O的切線，根據(jù)Rt△ODE∽R(shí)t△OBA得到DE的長(zhǎng)，再求出D₁的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OB于G，連接BD、OD，則BD²=BG²+DG²=（BO-OG）²+OD²-OG²，所以S=AB²=

1

2

BD²=7+

13

x，因?yàn)?1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出．

解答：解：（1）CD與⊙O相切．
∵A、D、O在一直線上，∠ADC=90°，
∴∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切線．
CD與⊙O相切時(shí)，有兩種情況：
①切點(diǎn)在第二象限時(shí)（如圖1），
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則a²+（a+1）²=13，
解得a=2，或a=-3（舍去），
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OB于E，
則Rt△ODE∽R(shí)t△OBA，
∴

OD

OB

=

DE

BA

=

OE

OA

，
∴DE=

2 13

13

，OE=

3 13

13

，
∴點(diǎn)D₁的坐標(biāo)是（-

3 13

13

，

2 13

13

），
∴OD所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-

2

3

x；
②切點(diǎn)在第四象限時(shí)（如圖2），
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為b，則b²+（b-1）²=13，
解得b=-2（舍去），或b=3，
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OB于F，則Rt△ODF∽R(shí)t△OBA，
∴

OD

OB

=

OF

OA

=

DF

BA

，
∴OF=

2 13

13

，DF=

3 13

13

，
∴點(diǎn)D₂的坐標(biāo)是（

2 13

13

，-

3 13

13

），
∴OD所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

2

x；

（2）如圖3，
過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OB于G，連接BD、OD，
則BD²=BG²+DG²=（BO-OG）²+OD²-OG²=（-

13

-x）²+1-x²=14+2

13

x，
∴S=AB²=

1

2

BD²=7+

13

x，
∵-1≤x≤1，
∴S的最大值為7+

13

，S的最小值為7-

13

．

點(diǎn)評(píng)：最值問(wèn)題的解決方法，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．