Question

某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)100臺(tái)需要投入2500元，對(duì)銷售市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后，得知市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需求量為每年500臺(tái)，且銷售收入可看作是函數(shù)y=500x-

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x2，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且0≤x≤500，已知此機(jī)器重要部件更新?lián)Q代快，若造成積壓，第二年無(wú)法賣出或無(wú)利可圖．
（1）分別寫出當(dāng)0≤x≤500及x＞500時(shí)利潤(rùn)w與年產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請(qǐng)你運(yùn)用函數(shù)知識(shí)，為該廠廠長(zhǎng)設(shè)計(jì)一個(gè)最佳的生產(chǎn)計(jì)劃，并求出由此計(jì)劃獲得的最大年利潤(rùn)是多少？

Answer 1

（1）當(dāng)0≤x≤500時(shí)，產(chǎn)品全部售出
∴W=500x-

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x2-(5000+25x)
即W=-

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x2+475x-5000（2分）
當(dāng)x＞500時(shí)，產(chǎn)品只能售出500臺(tái)
∴W=500×500-

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×5002-(5000+25x)
即，W=-25x+120000（4分）

（2）當(dāng)0≤x≤500時(shí)，W=-

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(x-475)2+107812.5（6分）
當(dāng)x＞500時(shí)，W=120000-25x＜120000-25×500=107500（8分）
故當(dāng)年產(chǎn)量為475臺(tái)時(shí)取得最大利潤(rùn)，且最大利潤(rùn)為107812.5元，最佳生產(chǎn)計(jì)劃475臺(tái)．（10分）