Question

【題目】如圖，點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．

(1)求證：AC=AD+CE；

(2)若AD=3，CE=5，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點(diǎn)Q；

(i)當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，求的值；

(ii)當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑(線段)長．(直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程)

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)(i)；(ii)線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑(線段)長為.

【解析】

(1)根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=CE，然后根據(jù)AC=AB+BC整理即可得證；

(2)(i)過點(diǎn)Q作QF⊥BC于F，根據(jù)△BFQ和△BCE相似可得，然后求出QF=BF，再根據(jù)△ADP和△FPQ相似可得，然后整理得到(AP-BF)(5-AP)=0，從而求出AP=BF，最后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得，從而得解；

(ii)判斷出DQ的中點(diǎn)的路徑為△BDQ的中位線MN．求出QF、BF的長度，利用勾股定理求出BQ的長度，再根據(jù)中位線性質(zhì)求出MN的長度，即所求之路徑長．

(1)如圖，∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，

∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°，∴∠1=∠E，

∵在△ABD和△CEB中，∠1=∠E，∠A=∠C=90°，AD=BC，

∴△ABD≌△CEB(AAS)，∴AB=CE，

∴AC=AB+BC=AD+CE；

(2)(i)如圖，過點(diǎn)Q作QF⊥BC于F，則△BFQ∽△BCE，

∴，

即，

∴QF=BF，

∵DP⊥PQ，

∴∠ADP+∠FPQ=180°-90°=90°，

∵∠FPQ+∠PQF=180°-90°=90°，

∴∠ADP=∠FPQ，

又∵∠A=∠PFQ=90°，

∴△ADP∽△FPQ，

∴，

即，

∴5AP-AP2+APBF=3BF，

整理得，(AP-BF)(AP-5)=0，

∵點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合，

∴AP≠5，

∴AP=BF，

由△ADP∽△FPQ得，，

∴；

(ii)線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑(線段)就是△BDQ的中位線MN，

由(2)(i)可知，QF=AP，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至AC中點(diǎn)時(shí)，AP=4，∴QF=，

∴BF=QF×=4，

在Rt△BFQ中，根據(jù)勾股定理得：BQ==，

∴MN=BQ=．