Question

如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動點（P與B、C不重合），連接AP，過點B作BQ⊥AP交CD于點Q，將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC′，延長QC′交BA的延長線于點M．

（1）試探究AP與BQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)AB=3，BP=2PC，求QM的長；

（3）當(dāng)BP=m，PC=n時，求AM的長．

　

Answer 1

解答： 解：（1）AP=BQ．

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，

∴∠ABQ+∠CBQ=90°．

∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，

∴∠PAB=∠CBQ．

在△PBA和△QCB中，

，

∴△PBA≌△QCB，

∴AP=BQ；

（2）過點Q作QH⊥AB于H，如圖．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴QH=BC=AB=3．

∵BP=2PC，

∴BP=2，PC=1，

∴BQ=AP===，

∴BH===2．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DC∥AB，

∴∠CQB=∠QBA．

由折疊可得∠C′QB=∠CQB，

∴∠QBA=∠C′QB，

∴MQ=MB．

設(shè)QM=x，則有MB=x，MH=x﹣2．

在Rt△MHQ中，

根據(jù)勾股定理可得x²=（x﹣2）²+3²，

解得x=．

∴QM的長為；

（3）過點Q作QH⊥AB于H，如圖．

∵四邊形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，

∴QH=BC=AB=m+n．

∴BQ²=AP²=AB²+PB²，

∴BH²=BQ²﹣QH²=AB²+PB²﹣AB²=PB²，

∴BH=PB=m．

設(shè)QM=x，則有MB=QM=x，MH=x﹣m．

在Rt△MHQ中，

根據(jù)勾股定理可得x²=（x﹣m）²+（m+n）²，

解得x=m+n+，

∴AM=MB﹣AB=m+n+﹣m﹣n=．

∴AM的長為．