Question

如圖，點P在⊙O的直徑BA的延長線上，AB=2PA，PC切⊙O于點C，連接BC．
（1）求∠P的正弦值；
（2）若⊙O的半徑r=2cm，求BC的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，則PC⊥OC，又AB=2PA，則有OC=AO=AP=PO，于是∠P=30°，可證sin∠P=；
（2）連接AC，證得△CAO是正三角形，那么CA=r=2，再根據勾股定理可求得CB的長．
解答：解：（1）連接OC，
∵PC切⊙O于點C，
∴PC⊥OC
又∵AB=2PA
∴OC=AO=AP=PO
∴∠P=30°
∴sin∠P=；
（或：在Rt△POC，sin∠P=）

（2）連接AC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠COA=90°-30°=60°，
又∵OC=OA，
∴△CAO是正三角形．
∴CA=r=2，
∴CB=．
點評：此題綜合考查了切線的性質、三角函數的定義、勾股定理等知識點．