Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點(diǎn)，AE、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接AC、

BF．
（1）求證：AB=CF；
（2）若將梯形沿對(duì)角線AC折疊恰好D點(diǎn)與E點(diǎn)重合，梯形ABCD應(yīng)滿足什么條件，能使四邊形ABFC為菱形？并加以證明；
（3）在（2）的條件下求sin∠CAF的值．

Answer 1

（1）證明：∵AB∥DC，
∴∠FCE=∠ABE，∠CFE=∠BAE．
又E是BC的中點(diǎn)，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB=CF．

（2）梯形ABCD應(yīng)滿足∠ADC=90°，CD=

1

2

BC．
理由如下：
∵AB∥CF，AB=CF，
∴四邊形ABFC是平行四邊形．
要使它成為菱形，只需AF⊥BC．
根據(jù)將梯形沿對(duì)角線AC折疊恰好D點(diǎn)與E點(diǎn)重合，得
∠ADC=90°，CD=

1

2

BC．

（3）∵四邊形ABFC為菱形，
∴AC=CF．
∴∠CAF=∠AFC．
∴∠ACD=∠CAF+∠AFC=2∠CAF．
由于是折疊，得∠CAD=∠CAF．
∴∠ACD=2∠CAD．
又∠ADC=90°，
∴∠CAF=∠CAD=30°．
∴sin∠CAF=

1

2

．