Question

【題目】如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y=a（x﹣2）2+k經(jīng)過點(diǎn)A、B，并與X軸交于另一點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P．

（1）求a，k的值；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)Q，使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在拋物線及其對(duì)稱軸上分別取點(diǎn)M、N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，求此正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）1，﹣1（2）（2，2）（3）

【解析】

試題分析：（1）先求出直線y=﹣3x+3與x軸交點(diǎn)A，與y軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a（x﹣2）2+k，得到關(guān)于a，k的二元一次方程組，解方程組即可求解；

（2）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，m），對(duì)稱軸x=2交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE垂直于直線x=2于點(diǎn)E．在Rt△AQF與Rt△BQE中，用勾股定理分別表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3﹣m）2，解方程求出m=2，即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，由NC與AC不垂直，得出AC為正方形的對(duì)角線，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性及正方形的性質(zhì)，得到M點(diǎn)與頂點(diǎn)P（2，﹣1）重合，N點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，此時(shí)，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，則四邊形AMCN為正方形，在Rt△AFN中根據(jù)勾股定理即可求出正方形的邊長(zhǎng)．

試題解析：（1）∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，

∴A（1，0），B（0，3）．

又∵拋物線y=a（x﹣2）2+k經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（0，3），

∴，解得，

故a，k的值分別為1，﹣1；

（2）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，m），對(duì)稱軸x=2交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE垂直于直線x=2于點(diǎn)E．

在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，

在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，

∵AQ=BQ，

∴1+m2=4+（3﹣m）2，

∴m=2，

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）；

（3）當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，NC與AC不垂直，所以AC應(yīng)為正方形的對(duì)角線．

又∵對(duì)稱軸x=2是AC的中垂線，

∴M點(diǎn)與頂點(diǎn)P（2，﹣1）重合，N點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，1）．

此時(shí)，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，

∴四邊形AMCN為正方形．

在Rt△AFN中，AN==，即正方形的邊長(zhǎng)為．