精英家教網(wǎng)如圖,以AB為直徑的半圓O上有一點(diǎn)C,過(guò)A點(diǎn)作半圓的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.
(1)求證:△ADC∽△BDA;
(2)過(guò)O點(diǎn)作AC的平行線OF分別交BC,
BC
于E、F兩點(diǎn),若BC=2
3
,EF=1,求
AC
的長(zhǎng).
分析:(1)根據(jù)切線的性質(zhì)知:∠BAD=90°,由AB為半圓O的直徑,可得:∠ACD=90°,再根據(jù)∠ADC=∠BDA,故:△ADC∽△BDA;
(2)作輔助線,連接OC,在Rt△OBE中,根據(jù)勾股定理可將半徑求出,進(jìn)而可將∠OBE和∠AOC的度數(shù)求出,代入弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.
解答:(1)證明:∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACD=90°.
∵AD為半圓O的切線,
∴∠BAD=90°,
∴∠ACD=∠BAD.
又∵∠ADC=∠BDA,
∴△ADC∽△BDA.

(2)解:連接OC,精英家教網(wǎng)
∵OE∥AC,
∴OE⊥BC,
∴BE=EC=
3

在Rt△OBE中,設(shè)OB=x,則有:x2=(
3
2+(x-1)2
∴x=OB=2,
∴OE=1,
∴∠OBE=30°,
∴∠AOC=60°,
AC
的長(zhǎng)=
60π×2
180
=
3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查相似三角形的判定及弧長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

10、如圖,以AB為直徑的半圓O上有兩點(diǎn)D、E,ED與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,且有DC=OE,若∠C=20°,則∠EOB的度數(shù)是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,C是⊙O上一點(diǎn),連接PC交AB于點(diǎn)E,且∠ACP=60°,PA=PD.
(1)試判斷PD與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若
BC
AC
=1:2,求AE:EB:BD的值(請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)果);
(3)若點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),已知AB=4,求CE•CP的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•成都一模)如圖,以AB為直徑的⊙O是△ADC的外接圓,過(guò)點(diǎn)O作PO⊥AB,交AC于點(diǎn)E,PC的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,∠PEC=∠PCE.若△ADC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,則PC的長(zhǎng)=
1
3
1
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,以AB為直徑的⊙O與AD、DC、BC均相切,若AB=BC=4,則OD的長(zhǎng)度為(  )

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