Question

如圖是反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象，當(dāng)-4≤x≤-1時(shí)，-4≤y≤-1．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式；
（2）若M、N分別在反比例函數(shù)圖象的兩支上，請指出什么情況下線段MN最短（不需證明），并求出線段MN長度的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）中用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；
（2）經(jīng)觀察后可發(fā)現(xiàn)當(dāng)MN為直線y=x與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，線段MN最短．聯(lián)立兩方程可求得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)M（2，2），（-2，-2）．然后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求得線段MN的最小值．

解答：解：（1）∵在反比例函數(shù)的圖象中，當(dāng)-4≤x≤-1時(shí)，-4≤y≤-1，
∴反比例函數(shù)經(jīng)過坐標(biāo)（-4，-1），
將坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=

k

x

中，
得反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

（2分）；

（2）當(dāng)M，N為一，三象限角平分線與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)時(shí)，線段MN最短．
將y=x代入y=

4

x

，
解得

x=2 y=2

x=-2 y=-2

，
即M（2，2），N（-2，-2）．
∴OM=2

2

．
則MN=4

2

．
又∵M(jìn)，N為反比例函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，
由圖象特點(diǎn)知，線段MN無最大值，即MN≥4

2

．

點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，在第（2）問中關(guān)鍵是要正確判斷MN何時(shí)出現(xiàn)最小值．