Question

已知拋物線y=

1

2

x2經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與直線y=

1

2

x+1相交于A、B兩點(diǎn)，y=

1

2

x+1與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)C和D．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若把拋物線向下平移，使得拋物線經(jīng)過點(diǎn)C，此時(shí)拋物線與直線y=

1

2

x+1相交于另一點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)F，求△CEF的面積；
（3）把拋物線y=

1

2

x2上下平移，與直線相交于點(diǎn)G、K，能否使得CG：DK=1：2，若能成立，請求出向上或向下平移幾個(gè)單位，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）讓二次函數(shù)和直線解析式聯(lián)立即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）向下平移，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)改變．設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，把C坐標(biāo)代入求得函數(shù)解析式，與一次函數(shù)聯(lián)立求得點(diǎn)E坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的對稱性可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（3）設(shè)G，K的橫坐標(biāo)分別為m，n，得到平移后的縱坐標(biāo)．從G，K向x軸引垂線，得到一定的相似三角形．利用相似三角形的對應(yīng)邊的比為1：2進(jìn)行求解．

解答：解：（1）由題意得：

1

2

x2=

1

2

x+1，
∴x²-x-2=0，
∴x₁=2，x₂=-1，
∴A（-1，

1

2

），B（2，2）．

（2）把y=

1

2

x2向下平移a個(gè)單位經(jīng)過點(diǎn)C，則拋物線變?yōu)椋?span id="6vvab4u" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">y=

1

2

x2-a，
又y=

1

2

x+1，
得C（-2，0），D（0，1），
∴0=

1

2

（-2）²-a，a=2，
∴y=

1

2

x2-2，
∴

1

2

x2-2=

1

2

x+1，x²-x-6=0x₁=3，x₂=-2，
∴E（3，

5

2

）
又C，F(xiàn)關(guān)于y軸對稱
∴F（2，0）
∴CF=2-（-2）=4
∴S_△CEF=

1

2

×CF×E點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值=

1

2

×4×

5

2

=5（2分）

（3）設(shè)拋物線上下平移k個(gè)單位，G點(diǎn)坐標(biāo)為（m，

1

2

m2+k），K點(diǎn)坐標(biāo)為（n，

1

2

n2+k)，
①G在C上方時(shí)

m-(-2) n = 1 2 ( 1 2 n2+K)-( 1 2 m2+k) n-m = 1 2

，
∴

m=-1 n=2

，
解得k=0，沒有移動，舍去；
②G在C下方時(shí)

(-2)-m n = 1 2 ( 1 2 n2+K)-( 1 2 m2+k) n-m = 1 2

，
∴

m=-5 n=6

．
解得k=-14，即向下平移14個(gè)單位，
所以，當(dāng)拋物線向下平移14個(gè)單位時(shí)，滿足要求．

點(diǎn)評：兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)是這兩個(gè)函數(shù)的解析式組成方程組的公共解；三角形一邊在坐標(biāo)軸上，這邊應(yīng)是求三角形面積的一底邊；
相似三角形的對應(yīng)邊的邊應(yīng)是相等的．