Question

（2000•吉林）如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，直線XY切⊙O于點C，弦BD∥XY，AC、BD相交于點E．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6cm，BC=4cm，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）已有∠ABD=∠ACD，AB=AC，需證∠BAC=∠DAC即可．∠BAC=∠BDC=∠DCY=∠DAC．
（2）證明△BCE與△ABC相似，可建立已知和未知之間的關系求解．
解答：（1）證明：∵XY是⊙O的切線，
∴∠1=∠2．
∵BD∥XY，∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．                                      （2分）
∵∠ABD=∠ACD，又∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACD．                                            （4分）

（2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB．                                            （6分）
∴，
∴AC•CE=BC²
即AC•（AC-AE）=BC²．
∵AB=AC=6，BC=4，
∴6（6-AE）=16．                                            （7分）
∴AE=（cm）．                                            （8分）
點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質和三角形的全等，綜合性較強，難度中等偏上．