【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),M、N分別在邊AC、BC上,OM⊥ON,連MN,AC=4,BC=8.設(shè)AM=a,BN=b,MN=c
(1) 求證:a2+b2=c2
(2) ① 若a=1,求b;② 探究a與b之間的函數(shù)關(guān)系式
(3) △CMN的面積的最大值為__________(不寫解答過程)
【答案】(1)見解析;(2)①4.5,②a+2b=10;(3)6.
【解析】
(1)過點(diǎn)B作BE∥AC交MO的延長線于E,連接NE,由△AOM≌△BOE,得MO=OE,AM=BE=a,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得NM=NE,然后證明△NBE是直角三角形即可;
(2)①根據(jù)MN2=CM2+CN2,a2+b2=c2,列出方程即可解決;
②方法類似①,由c2=(4a)2+(8b)2=a2+b2可得;
(3)根據(jù)S△CMN=(4a)(8b)=b2+11b24,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.
解:(1)證明:如圖,過點(diǎn)B作BE∥AC交MO的延長線于E,連接NE.
∵AM∥BE,
∴∠A=∠OBE,
在△AOM和△BOE中,∠A=∠OBE,AO=BO,∠AOM=∠BOE,
∴△AOM≌△BOE,
∴MO=OE,AM=BE=a,
∵OM⊥ON,
∴MN=NE=c,
∵∠C=90°
∴∠A+∠ABC=90°,
∴∠OBE+∠ABC=90°,
∴∠EBN=90°,
∴NE2=BN2+BE2,
∵NE=c,BE=a,BN=b,
∴a2+b2=c2;
(2)①在Rt△MNC中,MN2=CM2+CN2,
∴c2=(4a)2+(8b)2,∵a=1,a2+b2=c2,
∴1+b2=9+(8b)2,
∴b=4.5;
②∵c2=(4a)2+(8b)2=a2+b2,
∴a+2b=10.
(3)S△CMN=(4a)(8b)=-b2+11b-24=,
∵a+2b=10,
∵3≤b≤5,
∴當(dāng)b=5時,S△CMN最大值=6.
故答案為6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D為AB邊上一點(diǎn).
(1)求證:△ACE≌△BCD;
(2)若AD=5,BD=12,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)市委市政府提出的建設(shè)“綠色襄陽”的號召,我市某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長30m,寬20m的長方形空地,建成一個矩形花園.要求在花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道,剩余的地方種植花草,如圖所示,要使種植花草的面積為532m2,那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為多少米?(注:所有小道進(jìn)出口的寬度相等,且每段小道均為平行四邊形)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是半圓的直徑,射線于點(diǎn),點(diǎn)是射線上一動點(diǎn),連接,將沿翻折,點(diǎn)落在點(diǎn)處,過點(diǎn)作直線.
(1)當(dāng)時,求證:是半圓的切線;
(2)點(diǎn)在射線上繼續(xù)向上運(yùn)動,直線是否會再次與半圓相切,若相切,求出的度數(shù);若不相切,請說明理由.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如表:則下列判斷中正確的是( )
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 3 | … |
y | … | ﹣3 | 1 | 3 | 1 | … |
A. 拋物線開口向上B. 拋物線與y軸交于負(fù)半軸
C. 當(dāng)x=4時,y>0D. 方程ax2+bx+c=0的正根在3與4之間
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個頂點(diǎn)分別是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)平移△ABC,若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(0,﹣4),畫出平移后對應(yīng)的△A1B1C1,并寫出B1,C1的坐標(biāo);
(2)將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A2B2C2,并寫出B2,C2的坐標(biāo).
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【題目】如圖,拋物線的對稱軸為,與軸的一個交點(diǎn)在和之間,其部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論:(1):(2);(3)(為任意實(shí)數(shù));(4);5)點(diǎn)是該拋物線上的點(diǎn),且,其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
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【題目】已知拋物線l:y=ax2+bx+c(a,b,c均不為0)的頂點(diǎn)為M,與y軸的交點(diǎn)為N,我們稱以N為頂點(diǎn),對稱軸是y軸且過點(diǎn)M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線,直線MN為拋物線l的衍生直線.
(1)如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是 ,衍生直線的解析式是 ;
(2)若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求這條拋物線的解析式;
(3)如圖,設(shè)(1)中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)為M,與y軸交點(diǎn)為N,將它的衍生直線MN先繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行,再沿y軸向上平移1個單位得直線n,P是直線n上的動點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使△POM為直角三角形?若存在,求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,A(1,2),B(3,4),C(4,1),連接AB、BC、CA,平移△ABC得到△DEF,其中A點(diǎn)與D點(diǎn)對應(yīng),B點(diǎn)與E點(diǎn)對應(yīng),C點(diǎn)與F點(diǎn)對應(yīng)。
(1)使E與A重合,畫出△DEF,并寫出F的坐標(biāo);
(2)若將△ABC向左平移個單位,使得到的△DEF的頂點(diǎn)D、F分別位于軸兩側(cè),求的取值范圍。
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