Question

（2007•青島）提出問題：如圖①，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關(guān)系？
探究發(fā)現(xiàn)：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：
（1）當(dāng)AP=AD時（如圖②）：

∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=S_△ABD．
∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=S_△CDA．
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-S_△ABD-S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=S_△DBC+S_△ABC．
（2）當(dāng)AP=AD時，探求S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；
（3）當(dāng)AP=AD時，S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系式為：______；
（4）一般地，當(dāng)AP=AD（n表示正整數(shù)）時，探求S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；
問題解決：當(dāng)AP=AD（0≤≤1）時，S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關(guān)系式為：______．

Answer 1

【答案】分析：（2）仿照（1）的方法，只需把換為；
（3）注意由（1）（2）得到一定的規(guī)律；
（4）綜合（1）（2）（3）得到面積和線段比值之間的一般關(guān)系；
（5）利用（4），得到更普遍的規(guī)律．
解答：解：（2）∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=S_△ABD．
又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=S_△CDA．
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-S_△ABD-S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=S_△DBC+S_△ABC．
∴S_△PBC=S_△DBC+S_△ABC

（3）S_△PBC=S_△DBC+S_△ABC；

（4）S_△PBC=S_△DBC+S_△ABC；
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=S_△ABD．
又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=S_△CDA
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-S_△ABD-S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=S_△DBC+S_△ABC．
∴S_△PBC=S_△DBC+S_△ABC
問題解決：S_△PBC=S_△DBC+S_△ABC．
點評：注意總結(jié)相應(yīng)規(guī)律，類似問題通常采用類比的方法求解．