Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），以AB為直徑作⊙P與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）判斷（2）中的拋物線頂點(diǎn)D與⊙P的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（1）連接AC、BC；
∵AB是⊙P的直徑，
∴∠ACB=90°；
在Rt△ABC中，OA=8，OB=2，且OC⊥AB；
則OC²=OA•OB=16，得OC=4；
故C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-4），

（2）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+8）（x-2），
代入C點(diǎn)坐標(biāo)得：
a（0+8）（0-2）=-4，a=，
∴拋物線的解析式為：y=（x+8）（x-2）
=x²+x-4；

（3）由（1）知：y=x²+x-4=（x+3）²-；
則頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（-3，-），又C（0，-4），P（-3，0），
∴MP=，PC=5，MC=，
∴MP²=MC²+PC²，即△MPC是直角三角形，且∠PCM=90°，
故直線MC與⊙P相切．
分析：（1）連接AC、BC，由于AB是⊙P的直徑，則∠ACB=90°，在Rt△ABC中，OC⊥AB，易知OA、OB的長，利用射影定理即可求得OC的長，從而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，
（2）利用A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（3）用配方法將（2）題所得拋物線化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，也就能求出PM、MC的長，然后再判斷△PMC的形狀即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了圓周角定理、二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定、直線與圓的位置關(guān)系等知識，正確利用切線的判定定理是解題關(guān)鍵．